Euler's Eyes
2026-10-23
加法公式
我们来推导计算任意两个实数$a$和$b$的和$(a + b)$与差$(a - b)$的三角函数的公式，称为$a$和$b$的循环函数。
故事
节点 天文学大成, 托勒密 证明，在内接四边形中，对角线的乘积等于对边乘积之和—— 托勒密定理。应用于边长等于直径的四边形时，它精确地给出了两条弧的和与差的弦公式，托勒密用它来组装他的半度数表。波斯天文学家的公式以正弦形式出现 阿布·瓦法 （十世纪），我们在第二章中已经知道了。我们将要做的演示——基于两点之间的距离——使用笛卡尔的解析几何，并且是更新的。
36°、60°、72°、90°、120°的字符串"] --> B["差异字符串
72° - 60° = 12°"] B --> C["半串
6°、3°、1½°、3/4°"] C --> D["不等式
1°的字符串"] D --> E["一半
½° 和弦"] E --> F["1/2° 中 1/2° 的总和
完整板高达 180°"]
来源： 托勒密 (MacTutor) · Abu al-Wafa (MacTutor)。
在日常生活中
- **旋转图像。**要将点 $(x, y)$ 旋转角度 $\theta$，成像程序会计算 $(x\cos\theta - y\operatorname{sen}\theta,\; x\operatorname{sen}\theta + y\cos\theta)$ — 用坐标编写的加法公式。
- **随手机旋转的地图。**当您转动身体时，地图应用程序会将罗盘旋转添加到屏幕上已有的方向：弧线之和。
- 精确值。 方位 $30^\circ$ 后旋转 $45^\circ$ 给出方向 $75^\circ$ 和 $\operatorname{sen} 75^\circ = \operatorname{sen}(30^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966$。
理论
总和的余弦
设$P$、$Q$和$R$分别为与编号$a$、$a + b$和$-b$相关的循环点。相对于系统 $uOv$，这些点的坐标为
$$P(\cos a, \operatorname{sen} a) \qquad Q(\cos(a + b), \operatorname{sen}(a + b)) \qquad R(\cos b, -\operatorname{sen} b).$$Teorema总和的余弦
$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b$$查看演示
圆弧 $\overset{\frown}{AQ}$ 和 $\overset{\frown}{RP}$ 具有相同的尺寸 ($a + b$)；因此字符串 $\overline{AQ}$ 和 $\overline{PR}$ 是相同的。应用解析几何两点之间距离的公式，其中 $A(1, 0)$：
$$d_{AQ}^2 = [\cos(a + b) - 1]^2 + [\operatorname{sen}(a + b) - 0]^2 = \cos^2(a + b) - 2\cos(a + b) + 1 + \operatorname{sen}^2(a + b) = 2 - 2\cos(a + b)$$$$d_{RP}^2 = [\cos a - \cos b]^2 + [\operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b]^2 = \cos^2 a - 2\cos a\cos b + \cos^2 b + \operatorname{sen}^2 a + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b + \operatorname{sen}^2 b$$$$= 2 - 2\cos a\cos b + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b.$$从 $d_{AQ} = d_{RP}$ 得出 $2 - 2\cos(a + b) = 2 - 2\cos a\cos b + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$，这就是公式。
差值的余弦
Teorema差值的余弦
$$\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b$$查看演示
使用前面的公式和奇偶校验（$\cos(-b) = \cos b$，$\operatorname{sen}(-b) = -\operatorname{sen} b$）：
$$\cos(a - b) = \cos[a + (-b)] = \cos a\cos(-b) - \operatorname{sen} a\operatorname{sen}(-b) = \cos a\cos b - \operatorname{sen} a(-\operatorname{sen} b).$$和与差的正弦
Teorema和的正弦与差的正弦
$$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b + \operatorname{sen} b \cdot \cos a$$$$\operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b - \operatorname{sen} b \cdot \cos a$$查看演示
我们使用互补弧 $\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$：
$$\operatorname{sen}(a + b) = \cos\left[\frac{\pi}{2} - (a + b)\right] = \cos\left[\left(\frac{\pi}{2} - a\right) - b\right] = \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\cos b + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\operatorname{sen} b,$$即$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \cos a\operatorname{sen} b$。对于差异：
$$\operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen}[a + (-b)] = \operatorname{sen} a\cos(-b) + \operatorname{sen}(-b)\cos a = \operatorname{sen} a\cos b + (-\operatorname{sen} b)\cos a.$$和与差的正切
Teorema和与差的正切
$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \qquad \left(a, b, a + b \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$$$\operatorname{tg}(a - b) = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \qquad \left(a, b, a - b \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$查看演示
将分子和分母除以$\cos a\cos b$（不为空，根据条件）：
$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\frac{\operatorname{sen} a\cos b}{\cos a\cos b} + \frac{\operatorname{sen} b\cos a}{\cos a\cos b}}{\frac{\cos a\cos b}{\cos a\cos b} - \frac{\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b}{\cos a\cos b}} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}.$$对于差异，因为正切是奇数：
$$\operatorname{tg}(a - b) = \operatorname{tg}[a + (-b)] = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg}(-b)}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg}(-b)} = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}.$$和与差的余切
Teorema和与差的余切
$$\operatorname{cotg}(a + b) = \frac{\operatorname{cotg} a \cdot \operatorname{cotg} b - 1}{\operatorname{cotg} a + \operatorname{cotg} b} \qquad (a, b, a + b \ne k\pi)$$$$\operatorname{cotg}(a - b) = \frac{\operatorname{cotg} a \cdot \operatorname{cotg} b + 1}{\operatorname{cotg} b - \operatorname{cotg} a} \qquad (a, b, a - b \ne k\pi)$$查看演示
将分子和分母除以 $\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$：
$$\operatorname{cotg}(a + b) = \frac{\frac{\cos a\cos b}{\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b} - 1}{\frac{\cos b}{\operatorname{sen} b} + \frac{\cos a}{\operatorname{sen} a}} = \frac{\operatorname{cotg} a\operatorname{cotg} b - 1}{\operatorname{cotg} a + \operatorname{cotg} b}.$$并且，对于 $\operatorname{cotg}(-b) = -\operatorname{cotg} b$：
$$\operatorname{cotg}(a - b) = \frac{\operatorname{cotg} a(-\operatorname{cotg} b) - 1}{\operatorname{cotg} a + (-\operatorname{cotg} b)} = \frac{\operatorname{cotg} a\operatorname{cotg} b + 1}{\operatorname{cotg} b - \operatorname{cotg} a}.$$Exemplo一把不起眼的弓，却具有精确的价值
$$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$$与练习126相比：我们得到了$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$。两个值是相同的，因为$\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$。
为了记住
巴西学生发明了短语来存储加法公式。其中最著名的有两个：
Resumo两句话
- “我的土地上有棕榈树，画眉在那里唱歌：正弦 $a$ 余弦 $b$，正弦 $b$ 余弦 $a$。”
- “痒$a$，划伤$b$，在不知情的情况下改变符号：正弦$a$，正弦$b$。”
不同之处在于，两个公式中的中间符号发生了变化。
比死记硬背更好的是检查已知值。对于 $a = 60^\circ$ 和 $b = 30^\circ$，其和为 $90^\circ$，其正弦为 $1$，余弦为 $0$：
$$\operatorname{sen} 90^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1, \qquad \cos 90^\circ = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2} = 0.$$如果该短语发生更改，该帐户不会关闭。
本节中的练习是[章节列表]中的编号131到146（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap06-transformacoes/05-exercicios/).