故事

名称偶函数和奇函数来自以下幂：$x^2$、$x^4$、$x^6$…当我们将$x$更改为$-x$时不会更改，并且$x$、$x^3$、$x^5$…更改符号。这些术语出现在年轻的 Leonhard Euler 的著作中，该著作涉及当时提出的曲线问题“互易轨迹”，大约写于 1727。欧拉还意识到余弦的行为类似于偶次幂，而正弦的行为类似于奇次幂，这在他使用的级数中很清楚：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$仅具有偶次幂，而$\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$仅具有奇次幂。

余弦（红色）及其级数的第一个和，$1 - \frac{x^2}{2}$ 和 $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$：只有偶次幂，因此它们都相对于垂直轴对称，就像余弦本身一样。

来源： Euler (MacTutor) · 一些数学词汇的最早已知用法：E (Jeff Miller)。

在日常生活中

  • **降噪耳机。**它们捕获噪声并发出信号发生变化的相同波：由于正弦是奇数，“反转”波相当于半周期偏移，两者相互抵消。
  • 压缩照片。 JPEG 格式仅使用余弦，因为它像镜子一样对称地扩展图像的每个块，并且对称函数（偶数）仅用余弦编写。
  • 双向旋转。 向右或向左转动手轮 $30^\circ$ 会产生相同的“向前”进给（$\cos$ 为偶数）和相对侧偏差（$\operatorname{sen}$ 为奇数）。
降噪：手机发出与切换信号相同的波。

理论

减少适用于所有 x

通过减少到第一象限，我们建立了显着的等式。例如，如果 $\frac{\pi}{2} < x < \pi$，则 $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x)$ 和 $\cos x = -\cos(\pi - x)$。现在让我们将这些等式扩展到 todo $x$ 实数。

Teorema约简恒等式

对于每个实数 $x$，以下内容都是有效的：

  1. $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x)$ e $\cos x = -\cos(\pi - x)$;
  2. $\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(x - \pi)$ e $\cos x = -\cos(x - \pi)$;
  3. $\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(2\pi - x)$ e $\cos x = \cos(2\pi - x)$;
  4. $\operatorname{sen} x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ e $\cos x = \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
查看演示

1) 对于所有 $x \in \mathbb{R}$，我们有 $x = x_0 + 2k\pi$、$0 \le x_0 < 2\pi$ 和 $k \in \mathbb{Z}$。因此，$\pi - x = (\pi - x_0) - 2k\pi$ 表明 $x$ 和 $\pi - x$ 在周期中具有图像相对于正弦轴对称（无论 $x_0$ 的象限如何）。因此：

$$\operatorname{sen}(\pi - x) = \operatorname{sen} x \qquad \cos(\pi - x) = -\cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$

2)、3) 和 4) 类似地证明：$x - \pi$ 相对于中心 与 $x$ 具有对称图像； $2\pi - x$，相对于余弦轴；和 $\frac{\pi}{2} - x$，相对于第一象限的 角平分线。例如$\frac{\pi}{2} - x = \left(\frac{\pi}{2} - x_0\right) - 2k\pi$，弧线$x_0$和$\frac{\pi}{2} - x_0$相加为$\frac{\pi}{2}$，所以它们的图像在角平分线$u = v$上对称；这种对称性交换横坐标和纵坐标，得到 $\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ 和 $\cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$。

Exemploπ/2 + x 和 3π/2 ± x 类型的弧

结合恒等式，我们得到其他弧的公式（练习119）：

$$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \operatorname{sen}\left[\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right] = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cos\left[\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right] = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\operatorname{sen} x$$

偶函数和奇函数

Definição配对功能

函数 $f\colon A \to B$ 是 par 当且仅当

$$f(x) = f(-x), \quad \forall x \in A,$$

也就是说，通过给变量赋予对称值，我们获得函数的相同值。

示例：$f(x) = |x|$，因为 $|-x| = |x|$； $f(x) = x^2$，因为$(-x)^2 = x^2$； $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$，从 $\dfrac{1}{(-x)^2} = \dfrac{1}{x^2}$ 开始，对于所有 $x \in \mathbb{R}^*$。

根据定义，偶函数的图形关于 $y$ 轴对称，因为 $(x, y) \in f \Rightarrow (-x, y) \in f$。

偶函数：$|x|$、$x^2$ 和 $\frac{1}{x^2}$ — 相对于 $y$ 轴对称的图形。

Definição独特的功能

函数 $f\colon A \to B$ 是奇数当且仅当

$$f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in A,$$

也就是说，通过给变量赋予对称值，我们获得函数的对称值。

示例：$f(x) = 2x$，因为 $2(-x) = -2x$； $f(x) = x^3$，因为$(-x)^3 = -x^3$； $f(x) = \dfrac{1}{x}$，从 $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$ 开始，对于所有 $x \in \mathbb{R}^*$。

从定义可以看出，自 $(x, y) \in f \Rightarrow (-x, -y) \in f$ 起，奇函数的图形关于笛卡尔系统的原点对称。

奇函数：$2x$、$x^3$ 和 $\frac{1}{x}$ — 相对于原点对称的图形。

正弦和余弦奇偶校验

数字$x$和$-x$在循环中具有关于余弦轴对称的图像。因此：

Teorema平价

$$\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen} x \qquad \cos(-x) = \cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$

因此，正弦函数是奇数，余弦函数是偶数。因此，$\operatorname{tg}(-x) = \dfrac{-\operatorname{sen} x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$：正切也是奇数（余切和余割也是奇数），正割是偶数。

拖动$P$：点$P'$，$-x$的图像，与$P$在余弦轴上对称。

本节中的练习是[章节列表]中的编号119到125（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap04-reducao-ao-primeiro-quadrante/04-exercicios/).