Euler's Eyes
2026-10-23
转化为产品
在初等代数中，将多项式转换为乘积（因式分解）是一种具有巨大实际重要性的资源：
| $x^2 - 2x = x(x - 2)$ | 突出显示 |
| $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$ | 平方差 |
| $x^2 \pm 4x + 4 = (x \pm 2)^2$ | 完全平方三项式 |
| $x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ | 立方和 |
| $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ | 立方体的差异 |
| $x^3 \pm 3x^2 + 3x \pm 1 = (x \pm 1)^3$ | 完美的立方体 |
我们经常将这些特征应用到三角学中，并进行诸如 $\operatorname{sen}^2 x - 2\operatorname{sen} x = \operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x - 2)$ 和 $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = (\operatorname{sen} x + \cos x)(\operatorname{sen} x - \cos x)$ 之类的变换。除了代数资源之外，三角学还具有可让您完成因式分解的公式 - 在上面的示例中，还可以对 $\operatorname{sen} x + \cos x$ 和 $\operatorname{sen} x - \cos x$ 进行因式分解。
故事
将乘积转换为和的公式称为维尔纳公式，以德国牧师和数学家约翰内斯维尔纳 (1468–1522) 的名字命名，他在天文学问题中使用了这些公式。 16 世纪末，Tycho Brahe 等天文学家和他的助手Paul Wittich 意识到，他们可以将大数的乘法（例如平板电脑的正弦）交换为加法和减法，速度要快得多：该方法被称为prostapheresis（来自希腊语“加法和减法”）。不久之后，内皮尔的对数将以更简单的方式完成同样的工作。
- 1580Paul Wittich 在赫文的第谷天文台进行了前列腺摘除术。
- 1614Napier 发布对数：乘法变为加法。
- c. 1622Ougtred 发明了计算尺。
- 1972袖珍科学计算器到货了。
- Nasce no castelo da família, na Escânia, então parte da Dinamarca.
- Estuda na universidade. Um eclipse do Sol, em 1560, o faz decidir-se pela astronomia.
- Perde parte do nariz num duelo de espadas com um primo e passa a usar uma prótese de metal.
- Constrói Uraniborg e depois Stjerneborg, observatórios com instrumentos gigantes. Em 1580, Paul Wittich lhe ensina a prostaférese.
- Matemático imperial de Rodolfo II. Contrata Johannes Kepler, que herdará as suas observações.
来源： Tycho Brahe (MacTutor) · Werner (MacTutor) · Wittich (MacTutor)。
在日常生活中
- 给吉他调音。 两根弦几乎调准，分别为 440 Hz 和 442 Hz，加在一起听起来像 $2\operatorname{sen}(2\pi \cdot 441\,t)\cos(2\pi \cdot 1\,t)$：441 Hz 的音符，其音量每秒脉动 2 次。当脉动消失时，琴弦就调准了。
- 电话键盘。 每个键都会添加两种音调：例如，1 键会添加 697 Hz 和 1209 Hz。控制面板识别分隔总和的键。
- AM 收音机。 使用求和公式将声音乘以电台波形，生成“和”频率和“差”频率——收音机调谐到的边带。
理论
维尔纳公式
我们知道
$$\cos(a + b) = \cos a\cos b - \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b \;(1) \qquad \cos(a - b) = \cos a\cos b + \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b \;(2)$$$$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \operatorname{sen} b\cos a \;(3) \qquad \operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen} a\cos b - \operatorname{sen} b\cos a \;(4)$$将这些等式两两相加和相减：
Propriedade维尔纳公式
$$(1) + (2):\quad \cos(a + b) + \cos(a - b) = 2\cos a\cos b$$$$(1) - (2):\quad \cos(a + b) - \cos(a - b) = -2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$$$$(3) + (4):\quad \operatorname{sen}(a + b) + \operatorname{sen}(a - b) = 2\operatorname{sen} a\cos b$$$$(3) - (4):\quad \operatorname{sen}(a + b) - \operatorname{sen}(a - b) = 2\operatorname{sen} b\cos a$$产品转化公式
使用维尔纳公式 $a + b = p$ 和 $a - b = q$，因此 $a = \dfrac{p + q}{2}$ 和 $b = \dfrac{p - q}{2}$，我们得到：
Teorema转化为产品
$$\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$$$$\cos p - \cos q = -2\operatorname{sen}\frac{p + q}{2}\operatorname{sen}\frac{p - q}{2}$$$$\operatorname{sen} p + \operatorname{sen} q = 2\operatorname{sen}\frac{p + q}{2}\cos\frac{p - q}{2}$$$$\operatorname{sen} p - \operatorname{sen} q = 2\operatorname{sen}\frac{p - q}{2}\cos\frac{p + q}{2}$$Propriedade切线的和与差
$$\operatorname{tg} p + \operatorname{tg} q = \frac{\operatorname{sen} p}{\cos p} + \frac{\operatorname{sen} q}{\cos q} = \frac{\operatorname{sen} p\cos q + \operatorname{sen} q\cos p}{\cos p\cos q} = \frac{\operatorname{sen}(p + q)}{\cos p\cos q}$$$$\operatorname{tg} p - \operatorname{tg} q = \frac{\operatorname{sen} p\cos q - \operatorname{sen} q\cos p}{\cos p\cos q} = \frac{\operatorname{sen}(p - q)}{\cos p\cos q}$$Exemplo分解 sin x + cos x
作为$\cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$：
$$\operatorname{sen} x + \cos x = \operatorname{sen} x + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right).$$这解释了练习 61 的图形：正弦和余弦之和是幅度 $\sqrt{2}$ 的余弦，偏移 $\frac{\pi}{4}$。
本节中的练习是[章节列表]中的编号171到192（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap06-transformacoes/05-exercicios/).