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三角循环

三角环是三角学的“跑道”：一个半径为1的圆，其中每个实数都是从起点开始的一条路线。后面章节的所有功能都会在里面读到。 故事 希腊和印度天文学家使用大半径的圆——托勒密使用半径60，Aryabhata使用半径3438——以避免表格中的分数。 18 世纪的欧拉确定了半径1：因此，弧长就是角度本身的弧度测量值，而正弦和余弦变成了数字，而不是线段的长度。将实线缠绕在圆周上的想法，允许负弧大于一圈，这就是将三角形的三角学转变为周期函数理论的原因。 莱昂哈德·欧拉是谁 莱昂哈德·欧拉 (1707–1783)，来自瑞士巴塞尔，是历史上最多产的数学家：他的全集版本超过70卷。他在圣彼得堡和柏林工作，在30岁左右一只眼睛失明，在他生命的最后十七年几乎失明中度过——在此期间，他向助手们发号施令，完成了几乎一半的作品。 无限分析导论（1748）中，他固定了半径1，并将正弦和余弦视为数字的函数，是几代数学家的手册；这就是本书的三角循环的由来。 阅读第七章. 克劳狄斯·托勒密（c. 100–170），后来的艺术表现。他们的表格使用半径为 60 的圆。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 Aryabhata (476–550)，后来的艺术表现。它使用半径 3438，即弧度中的弧分数。Cpjha13 · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 莱昂哈德·欧拉，如图 1753。他是修复闪电1的人。雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 · 维基共享资源 · 公共领域 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1707–1727 巴塞尔在瑞士出生长大。13 岁进入大学，开始每周六跟约翰·伯努利学习。 1727 吕贝克他乘船沿莱茵河而下，坐马车穿过德意志，在吕贝克登船前往俄国。 1727–1741 圣彼得堡在科学院工作。解决巴塞尔问题，研究柯尼斯堡七桥，右眼失明。 1741–1766 柏林应腓特烈二世之邀前往柏林科学院。出版《无穷分析引论》，提出公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$。 1766–1783 圣彼得堡应叶卡捷琳娜大帝之邀返回。几乎完全失明，却一直口述论文，直到 1783 年去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 欧拉生活过的城市，从巴塞尔到圣彼得堡。点击某一站，或使用沿路线走一遍。 地图：© OpenStreetMap 贡献者

October 22, 2026 阅读
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角度及其测量

角度是同源两条射线之间的“开口”。为了测量它，我们将问题转移到弧上：角度的测量值与它在以其顶点为中心的圆中确定的弧相同。 故事 欧几里得 (c. 300 BC) 的几何原本将平面角度定义为“平面中相交且不在一条直线上的两条线相对于彼此的倾斜度”。定义看似简单，但希腊人讨论了几个世纪的什么是，毕竟是一个角度：一个数量，可以相加和比较？ 质量，就像表格一样？或者两行之间的关系？讲述这场争论的是5世纪的普罗克洛斯，他在对欧几里得的评论中。我们采用的解决方案——通过在以顶点为中心的圆中确定的弧来测量角度——将哲学问题放在一边，并将角度转换为数字。 钟面也有古老的根源：将白天和黑夜划分为 12 小时来自埃及人，每小时的 60 分钟来自巴比伦人的 60 基数。然而，在克里斯蒂安·惠更斯在1656中建造了摆钟之后，分针才变得普遍，这是第一个足够精确的摆钟。 罗德岛的尤德穆斯是谁 罗德岛的尤德穆斯 （约公元前 370-300 年）是最亲近的弟子之一 亚里士多德。罗马作家奥鲁斯·杰利奥 (Aulus Gélio) 说，亚里士多德已经老了，必须在罗德岛的尤德穆斯和莱斯博斯岛的泰奥弗拉斯托斯之间选择他的继任者。他从两个岛上都订购了葡萄酒，品尝了两种葡萄酒，并宣称：“两种都很棒，但莱斯博斯岛的那种更甜”——而莱塞姆则选择了泰奥弗拉斯托斯。 Eudemo 写了第一个 几何史 这是已知的。这本书已经丢失，但普罗克洛斯引用了它，从这些引文中我们知道，例如，泰勒斯使用三角形相等来计算海上船只的距离。根据 Proclus 的说法，Eudemus 奉献了整篇论文， 关于角度，认为角度是一种品质。 来自拉斐尔的雅典学院的人物，传统上被认为是罗德岛的尤德穆斯；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 根据 Eudemus 的说法，泰勒斯是如何计算一艘船的距离的：从 $H$ 高的塔顶，人们可以看到这艘船；三角形 $TKJ$ 和 $TBN$ 相似，然后 $D/H = d/h$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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弧和弧测量

在讨论正弦或余弦之前，我们需要知道如何测量一段周长。为此有两个标尺：度（从巴比伦人继承）和弧度（用半径本身测量弧度）。 故事 将周长划分为360部分来自美索不达米亚的天文学，它以60为基础进行计算，并跟随太阳，太阳大约在360天内覆盖了天空。公元前二世纪，喜帕恰斯在他的和弦表中采用了360度，而托勒密在天文学大成（约公元150 AD）中，将每个度分为60分钟，每分钟分为60秒 - minutae primae 和 secundae 部分为分钟和秒命名。 通过长度来测量圆弧，以半径为单位的想法是最近才出现的。英国人Roger Cotes在1714中认识到这是角度的“自然”单位，而Leonhard Euler在无限分析导论（1748）中系统地使用了它，研究了半径为1的圆。 弧度这个词仅在1873中以印刷形式出现，出现在工程师James Thomson（开尔文勋爵的兄弟）准备的考题中。 罗杰·科特斯是谁 罗杰·科特斯 (1682–1716) 是一位剑桥神童：在 24 岁时，他成为第一位 Plumian 天文学教授职位的持有者。 艾萨克·牛顿委托他编写第二版的原理 (1713)，两人保持着长期的通信，逐个论证地讨论该书的修正。在文章 Logometry (1714) 中，Cotes 得出了一个与 $ix = \ln(\cos x + i\operatorname{sen} x)$ 等价的关系 - 与欧拉以 $e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x$ 形式闻名的关系相同 - 并且只有当弧 $x$ 以半径（即弧度）测量时，它才有效。 Cotes 因发烧去世，享年 33；他的论文由他的表弟 Robert Smith 发表，名称为 Harmonia mensurarum (1722)。据说牛顿曾感叹道：“如果科特斯还活着，我们就应该学到一些东西。” 尼西亚的喜帕恰斯（公元前 190–120），后来的艺术表现。他们的字符串表已经使用了 360 度。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域 c. 1800 a.C.巴比伦人以基础 60 进行计算，这是在 60 分 60 秒内留下的遗产。 世纪。公元前IIHiparchus 在第一个和弦表中使用 360 度数。 c. 150托勒密在天文学大成中将度分为分和秒。 1714Roger Cotes 认识到半径是角度的自然单位。 1748欧拉在简介中作用于半径为1的圆。 1873在 James Thomson 的校样中，弧度这个词出现在印刷品中。 单词。 Trigonometry 加入了希腊语 trígōnon（“三角形”）和 metron（“测量”）。托勒密将圆周的每个 360 部分称为 moîra（μοῖρα，“部分”）； moîra 的第六十部分是 质子 hexēkostón，“第一个六十”，而其中的六十部分是 氘核 hexēkostón，“第二个六十”。拉丁语译者将这些名称翻译为 gradus（“步骤”）、pars minuta prima（“第一小部分”）和 pars minuta secunda — 由此而来，缩短了度数、分钟和秒。

October 22, 2026 阅读
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三角比率和解直角三角形

角度选择边的角色 选择直角三角形中的锐角 $\alpha$。相对于它，一侧是相对的，另一侧是相邻的。如果我们换个角度，这些角色就会颠倒过来；斜边保持不变。 如果两个三角形具有相同的锐角，则它们相似。因此，它们对应边之间的比率相等： $$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$将第一个商除以第二个商，我们得到 $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$。由于锐角互补，因此 $\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$ 也是互补的。 五种数据类型 称斜边为 $a$、$\alpha$ 的对边为 $b$，以及相邻的边为 $c$。 已知数据 如何完成 斜边 $a$ 和角 $\alpha$ $b=a\sin\alpha$, $c=a\cos\alpha$ 对边 $b$ 和角度 $\alpha$ $a=b/\sin\alpha$, $c=b/\tan\alpha$ 邻边 $c$ 和角度 $\alpha$ $a=c/\cos\alpha$, $b=c\tan\alpha$ 斜边 $a$ 和边 $b

October 22, 2026 阅读
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毕达哥拉斯、直角三角形的高度和投影

命名每个段 在直角三角形中，与直角相对的边是斜边。称呼她为 $a$ 和男孩们 $b,c$。其他角都是锐角，加起来为 $90°$。 将高度 $h$ 绘制到斜边。它将 $a$ 分为两个投影：与边 $b$ 关联的 $m$，以及与边 $c$ 关联的 $n$。因此，$m+n=a$。 通过相似性进行论证 两个较小的三角形有一个直角和一个锐角，与原来的三角形相同。他们和他很相似。比较对应边： $$\frac b a=\frac m b\Rightarrow b^2=am,\qquad \frac c a=\frac n c\Rightarrow c^2=an.$$将两个等式相加并使用 $m+n=a$： $$b^2+c^2=a(m+n)=a^2.$$我们得到了毕达哥拉斯定理。它是根据相似边之间的关系推导出来的，而不依赖于特定测量的示例。 两条路径的高度 面积可以通过腿或斜边及其高度来计算： $$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}\Rightarrow ah=bc.$$平方并代入 $b^2=am$ 和 $c^2=an$： $$h^2=\frac{b^2c^2}{a^2}=\frac{am\cdot an}{a^2}=mn.$$因此，$h=\sqrt{mn}$。所有这些措施都是积极的。 中线到斜边 斜边的中点M到三个顶点的距离相同。要了解原因，请完成三角形直至形成矩形。矩形的对角线相等并切成两半。每一半的测量值为$a/2$。 因此，从直角到 M 绘制的中位数测量为 $a/2$。这也表明以M为圆心、以$a/2$为半径的圆经过三个顶点。 工作示例 对于腿 6 和 8 厘米，$a=\sqrt{36+64}=10$ 厘米。然后： $$h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm},$$ $$m=\frac{6^2}{10}=3{,}6\text{ cm},\qquad n=\frac{8^2}{10}=6{,}4\text{ cm}.$$预测总和为 10 cm，中位数为 5 cm，证实了这些关系。 在日常生活中 瓦工的正方形。 通过标记 3 米、4 米并检查 5 米对角线，瓦工保证了一个直角。 **电视尺寸。**电视英寸测量对角线：宽度和高度是边。 **捷径。**沿对角线穿过一块 30 米 x 40 米的土地，可节省 20 米。 瓦工方格：一面墙为 3 米，另一面墙为 4 米；如果对角线给出 5 m，则角是直的，因为 $3^2 + 4^2 = 5^2$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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30、45和60度值的演示

两张图代替记忆 锐角的三角比为： $$\sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$ $$\tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.$$可以使用毕达哥拉斯精确计算某些角度。请参阅本轨道中的度量关系类以获取定理的证明。 45 度三角形 边长为 1 的正方形的对角线将其分成两个等腰直角三角形。锐角相等且相加为$90°$；每个措施 $45°$。 根据毕达哥拉斯定理，对角线的尺寸为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$。标识： $$\sin45°=\cos45°=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad\tan45°=1.$$30 和 60 度的三角形 绘制一侧的高度 等边三角形 2。它将底面分为长度为1的两部分，将顶角分为$30°$的两部分。 高度 $h$ 满足 $h^2+1^2=2^2$，然后满足 $h=\sqrt3$。读取相对和相邻的腿： 角度 正弦 余弦 切线 $30°$ $1/2$ $\sqrt3/2$ $\sqrt3/3$ $45°$ $\sqrt2/2$ $\sqrt2/2$ $1$ $60°$ $\sqrt3/2$ $1/2$ $\sqrt3$ 在$30°$和$60°$中，猫交换了角色。这解释了为什么一个的正弦与另一个的余弦重合。 精确值和近似值 $\sqrt3/2$ 是一个精确值。小数 $0{,}866$ 是一个近似值。在整个计算过程中保留根式，仅在需要解释测量结果时进行舍入。 在日常生活中 正方形。 学校正方形的角度为 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 和 $90^\circ$。 屋顶。 $30^\circ$ 和 $45^\circ$ 的屋顶很常见：半宽为 4 米，$45^\circ$ 的屋顶升高 4 米。 蜂窝。 蜜蜂制作六边形，其内三角形为 等边，角度为 $60^\circ$。 箱子和工具箱上的显着角度：两个方形和六角螺母（正六边形）。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
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内切多边形和中心半角的正弦

两根辐条之间的绳子 在半径为 $R$ 的圆内接一个边长为 $n\ge3$ 的正多边形。将两个相邻顶点连接到中心 O。所形成的三角形具有等于多边形 $R$ 的两条边和等于多边形边 $\ell$ 的底边。 $n$ 相等的圆心角完成一圈。每个测量值都是 $360°/n$。从 O 处画出这个三角形的高度。为了对称，它将底角和圆心角切成两半。 与正弦关系的演示 其中一半出现一个直角三角形。它在 O 处的角度为 $180°/n$，其斜边为 $R$，对边为 $\ell/2$。 我们将锐角的正弦定义为对边与斜边的比值。所以： $$\sin\frac{180°}{n}=\frac{\ell/2}{R}=\frac{\ell}{2R}.$$绝缘边长： $$\ell=2R\sin\frac{180°}{n}.$$在半径为 1 的圆周上，关系简化为 $\sin(180°/n)=\ell/2$。在高中，相同的角度测量将写为 $\pi/n$ 弧度。 六边形的应用 正六边形可以按其半径分为六个 等边三角形：每个圆心角的尺寸为 $360°/6=60°$。因此，六边形的边长为 $R$。 替换 $n=6$ 和 $\ell=R$： $$\sin30°=\frac{R}{2R}=\frac12.$$正弦没有单位：它是以同一单位测量的长度之间的比率。半径加倍会使边加倍，但不会改变商。 在日常生活中 **六角螺母。**螺钉的头部是正六角形；中心半角正弦将边与半径连接起来。 停止标志。 该标志是一个正八边形：$45^\circ$ 的八个圆心角。 **辐条轮。**在自行车车轮上，两个相邻辐条末端之间的距离是弦，用半角的正弦计算。 日常多边形：边长为 8，即 STOP 标志；带有 6，六角螺母。该字符串是$2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 有决心的练习 1。 正内接六边形的半径为 7 厘米。计算它的边长和周长。

October 21, 2026 阅读
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以度、分和秒为单位测量角度

比较旋转的单位 将转弯分为 360 等份定义度数。一整圈的测量值为 $360°$；半圈，$180°$；一个房间，$90°$。 $0°$和$90°$之间的角度是锐角；在 $90°$ 和 $180°$ 之间，钝角。 在圆上，弧的度数就是其相应圆心角的量度。要区分具有相同端点的两条弧，请指示正在测量哪一条弧。 学位的次要部分 度数有 60 角分，每分钟有 60 角秒： $$1°=60',\qquad1'=60'',\qquad1°=3600''.$$这些单位测量角度。名称并不能使角度成为时间的度量。 要将 $27°18'$ 转换为十进制： $$27°18'=\left(27+\frac{18}{60}\right)°=27{,}3°.$$反之，在$42{,}25°$中，$0{,}25°$部分对应于$0{,}25\cdot60=15'$。因此，$42{,}25°=42°15'$。 演示：为什么我们需要重组？ 添加相同类型的单元可得出： $$18°45'+7°30'=25°75'.$$与$75'=60'+15'=1°15'$一样，分钟小于60的形式为： $$25°75'=26°15'.$$变换改变了部分总和的单位，保留了总测量值。减法时，我们可以做相反的事情：$30°=29°60'$。 补充与补充 当两个角度之和为 $90°$ 时，互补；当两个角度之和为 $180°$ 时，互补。 $34°$的补码是$56°$；补充是$146°$。 当我们研究直角三角形的两个锐角和三角循环的对称性时，这些关系会再次出现。 在日常生活中 坐标。 纬度和经度以度、分和秒给出；圣保罗接近 $23^\circ 33'$ S。 海里。 一分钟的纬度约为 1852 米，即船舶和飞机使用的海里；一秒，大约 31 米。 手机 GPS。 应用程序还以十进制显示坐标：$23{,}55^\circ = 23^\circ 33'$。 纬度以度、分和秒为单位，到赤道的距离以海里为单位。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 有决心的练习 **1。**计算$40°10\prime-12°35\prime$。 检查分辨率 1$40°10\prime=39°70\prime$。减去，$39°70\prime-12°35\prime=27°35\prime$。 2。 将 $12°24\prime36\prime\prime$ 转换为十进制。

October 21, 2026 阅读
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弧、弦、射线和角

从绘图开始 在圆上标记不同的点 A 和 B。他们将其分为两条弧，都包括A和B。弦AB是点之间的直线段。弧不是线段。 如果极值重合，我们可以区分归零弧（简化为点）和转弯弧（覆盖整个圆周）。在将最终位置与所执行的转弯进行比较时，这种区别非常重要。 什么是角？ 半直线有一个原点并无限地沿一个方向延伸。原点为 O 的两条射线确定了平面的两个角区域。当我们使用最小光圈时，我们需要注明这一点；另一侧的开口也存在。 如果光线相反，则每个区域对应于 $180°$ 的浅角。如果它们重合，我们可以考虑$0°$的零角或$360°$的一圈角。 相同的开口，不同的拱门 画两个同心圆，一个半径为 2 厘米，另一个半径为 4 厘米。两条半直线从中心切出两条弧线。圆心角相同，但大圆的弧长是其两倍。 半径之间的比率为： $$\frac42=2.$$放大系数 2 使所有长度加倍并保留角度。因此，弧的角度测量与其长度是不同的信息。 工作示例 两条射线界定四分之一圈。圆心角测量： $$\alpha=\frac{360°}{4}=90°.$$在以此中心为中心的任何圆上，所选圆弧占据圆的四分之一。尽管弧长随半径变化，但其角度测量值为 $90°$。 在日常生活中 **建筑。**旧门窗上的拱门是一个圆周弧形；穿过它的直梁是一根绳子。 指南针。 指南针的开口是一个角度，它划出的线是一条弧线。 风扇。 风扇的叶片绕轴成相等的角度：三个叶片，叶片之间为 $120^\circ$。 拱形窗：顶部是一个圆拱，穿过它的梁是一根绳子。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
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三角形在不改变形状的情况下生长

漫画绘制的坡道 在网格上，在右侧绘制路径 3 漫画，在顶部绘制 4 漫画。用线段将开头与结尾连接起来。您已形成一个带直角的三角形：直角三角形。 现在复制一份，将所有长度都折叠起来。水平路径会有6漫画；垂直，8。长度发生了变化，但角部开口保持不变。 $$3\cdot2=6,\qquad4\cdot2=8.$$为什么仅弯曲一侧就会改变形状？ 比较两个副本：在第一个副本中，折叠水平和垂直路径；在第二个中，仅折叠水平方向。在第二个副本中，坡道更加平坦。不改变形状的增长需要以相同的比例向各个方向扩展。 这一经验准备了一个将在基础 II 中演示的想法：具有相同角度的三角形具有相应的比例边。 折叠的两条边相等 对角折叠一个正方形。直角两侧在弯曲之前长度相同，并且保持不变。两个较小的角也是一样的。该图是两条边相等的直角三角形的模型。 如果其中一侧的尺寸为 5 厘米，则另一侧的尺寸也为 5 厘米： $$a=b=5\text{ cm}.$$该字母只是测量的名称。对角线是另一条边；上面的等式并没有说明它测量的是多少。 在日常生活中 放大复印。 在复印机上放大图形会按相同比例放大所有边：形状不会改变。 **地图。**地图是地点的缩小版；因此，街道之间的角度与城市地图上的角度相同。 **模型。**建筑师制作模型时，所有测量值除以相同的数字，并且屋顶具有相同的坡度。 放大的复印件会弯曲所有侧面，但保持角度：副本的坡道与原件具有相同的坡度。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
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车轮上的拐角、辐条和路径

相同点之间的两条路径 画一个轮子，并在其上标记两个点，A 和 B。用直线将它们连接起来：它是一条绳子。现在沿着轮子的边缘从 A 到 B：您已经走过了一条弧线。边缘周围有两条可能的路径；表明您正在使用哪一个。 center 是轮子中间的点。从中心到边缘的线段是半径。同一车轮上的所有辐条具有相同的长度。 一首我们可以随身携带的歌 将一张纸对折，然后再垂直于第一次折叠。形成的角是直角模型，其尺寸为$90°$。将这个角靠在门、桌子和图画上：哪些开口与它相同？ 两个相邻的直角形成半圈： $$90°+90°=180°.$$四人完成一圈： $$90°+90°+90°+90°=360°.$$为什么手臂长度不会改变唱歌？ 画两个来自同一点的箭头。延长两个箭头而不改变其方向。开口保持不变。因此，角度取决于方向，而不是手臂设计的尺寸。 对于相同的旋转，较大的轮子可能具有较长的弧线。 $90°$ 的角保持不变：他占据了大轮的四分之一，也占据了小轮的四分之一。 在日常生活中 门。 打开的门与墙形成一个角；小衣柜门和大客厅门的开口相同。 **披萨。**将披萨切成相等的部分，无论披萨大小，其中心都有相同的角。 剪刀。 打开剪刀或多或少会改变刀片之间的角，而不是刀片的大小。 更改切片数量：每片的角仅取决于披萨的数量，而不取决于披萨的大小。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 尝试一下 使用两支铅笔作为角度臂。将两端保持在一起。或多或少地打开铅笔并与页面的一角进行比较。将每个开口描述为小于、等于或大于直角。 有决心的练习 1。 轮子的半径为 3 厘米。同一个车轮上的另一个辐条有多长？ 检查分辨率 1也是 3 厘米。半径相等是圆周定义的一部分。 2. 两点之间的边缘路径和直线路径是否具有相同名称？ 检查分辨率 2不。围绕边缘的路径是一个拱形；直线段是弦。 与源材料的对应 适合本阶段的关于角度和三角形的准备活动。一般公式出现在以下轨道中。 本课程的文本是教学性的重写。页面转录保留了原始练习和其他项目的顺序；它仍然有 OCR 片段等待审核。 阶段索引 · ←上一堂课 · 下一堂课→

October 21, 2026 阅读
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整圈、半圈和四分之一圈

转动你的身体 看一堵墙。旋转直到您看到后墙：您已经完成了掉头。再转半圈，您将回到起点。现在尝试以四个相等的部分进行相同的旋转。每个部分都是四分之一圈。 一圈可以通过多种方式分割。两个半场和四个四分之一圈完成同一圈： $$\frac12+\frac12=1,\qquad \frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$这里数字1代表一整圈。我们测量的不是您脚部行走路径的长度，而是您方向的转弯。 为什么两个四分之一等于一半？ 画一个圆并将其折成四等份。绘制两个相邻的部分。绘制的区域占据了磁盘的一半。这就是为什么： $$\frac14+\frac14=\frac24=\frac12.$$这是一个按比例的演示：相同的部分可以分成四分之一或两半来数。 措施的名称 大人常说一个转弯有$360°$，读作“360度”。然后： $$360°\div2=180°,\qquad360°\div4=90°.$$在识别旋转之前没有必要记住数字。转一整圈、半圈又四分之一圈；然后将名称与测量值关联起来。 在日常生活中 **统一秩序。**在学校和军队，“转身，转身！”他说转半圈，然后“右转！”，转四分之一圈。 **方向盘和水龙头。**打开水龙头“四分之一圈”或转动方向盘“半圈”都是转动的测量。 时钟。 在 15 分钟内，大指针转四分之一圈；在 30 分钟内，半圈。 在时钟上，15 分钟是大指针的四分之一圈，30 分钟是大指针的半圈。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 活动 在圆盘上用箭头做一个标记。从顶部位置开始，每次前进四分之一圈。在返回起点之前，您将访问四个方向。在每个阶段，说出您转动了多少圈：四分之一圈、两圈、四分之三圈和一圈。 有决心的练习 **1。**您已转了四分之三圈。完成一圈需要多长时间？ 检查分辨率 1还剩四分之一：$\frac34+\frac14=1$。 2. 两个半圈是否指向初始方向？ 检查分辨率 2是的。 $\frac12+\frac12=1$回来了。即使最终方向与初始方向相同，所执行的旋转仍然存在。 与源材料的对应 适合本阶段的关于角度和三角形的准备活动。一般公式出现在以下轨道中。 本课程的文本是教学性的重写。页面转录保留了原始练习和其他项目的顺序；它仍然有 OCR 片段等待审核。 阶段索引 · 下一堂课→

October 21, 2026 阅读