通过加法公式中的$b = a$，我们得到双弧函数；反转这些公式，就是拱形一半的公式。例如，这些工具允许从 $\cos\frac{\pi}{4}$ 计算 $\operatorname{sen}\frac{\pi}{8}$。

故事

在 1593 中，比利时数学家 Adriaan van Roomen 向欧洲数学家发起挑战，要求他们求解度方程 45。法国国王亨利四世的律师兼顾问François Viète意识到这是$\operatorname{sen} 45\theta$对$\operatorname{sen}\theta$函数的表达式，并用他自己系统化的多重弧公式解决了这个问题。 半弓公式甚至更古老：托勒密在他的平板电脑的构造中使用它们从 $12^\circ$ 字符串传递到 $6^\circ$、$3^\circ$、$1{,}5^\circ$ 和 $0{,}75^\circ$ 字符串。

弗朗索瓦·维特 (1540–1603)。
弗朗索瓦·维特 (1540–1603)。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域

来源： Viète (MacTutor) · Van Roomen (MacTutor)。

在日常生活中

  • **踢和投掷。**在没有空气阻力的情况下，以速度 $v$ 和角度 $\theta$ 投出的球到达 $\frac{v^2\operatorname{sen} 2\theta}{g}$。最大范围在$45^\circ$处，因为$\operatorname{sen} 2\theta$在$2\theta = 90^\circ$处最大；若为 $v = 20$ m/s，则约为 40,8 m。
  • 角度范围相同。 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 处的发射落在同一位置，因为 $\operatorname{sen} 60^\circ = \operatorname{sen} 120^\circ$ — 一个较低，另一个较高。
  • 计算机绘图。 CAD程序使用$t = \operatorname{tg}\frac{\theta}{2}$参数绘制圆周圆弧，该参数将正弦和余弦转换为易于计算的多项式分数。
范围取决于 $\operatorname{sen}2\theta$：在 $45^\circ$ 处最大，并且互补角落在同一位置。

理论

2a 的循环函数

让我们执行 $2a = a + a$ 并应用加法公式。

Teorema双弓

$$\cos 2a = \cos^2 a - \operatorname{sen}^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2 a$$$$\operatorname{sen} 2a = 2\operatorname{sen} a \cdot \cos a \qquad\qquad \operatorname{tg} 2a = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}$$
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I) $\cos 2a = \cos(a + a) = \cos a\cos a - \operatorname{sen} a\operatorname{sen} a = \cos^2 a - \operatorname{sen}^2 a$。将$\operatorname{sen}^2 a$替换为$1 - \cos^2 a$，或将$\cos^2 a$替换为$1 - \operatorname{sen}^2 a$，我们得到另外两种形式。

II) $\operatorname{sen} 2a = \operatorname{sen}(a + a) = \operatorname{sen} a\cos a + \operatorname{sen} a\cos a = 2\operatorname{sen} a\cos a$。

III) $\operatorname{tg} 2a = \operatorname{tg}(a + a) = \dfrac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg} a} = \dfrac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}$。

$\operatorname{sen} 2x$（红色）和 $2\operatorname{sen} x$（虚线）：双 not 的正弦是正弦的两倍。

3a 的循环函数

制作 $3a = 2a + a$ 并应用加法公式：

Teorema三重弓

$$\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a \qquad \operatorname{sen} 3a = 3\operatorname{sen} a - 4\operatorname{sen}^3 a \qquad \operatorname{tg} 3a = \frac{3\operatorname{tg} a - \operatorname{tg}^3 a}{1 - 3\operatorname{tg}^2 a}$$
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I) $\cos 3a = \cos 2a\cos a - \operatorname{sen} 2a\operatorname{sen} a = (2\cos^2 a - 1)\cos a - (2\operatorname{sen} a\cos a)\operatorname{sen} a$

$= (2\cos^2 a - 1)\cos a - 2\operatorname{sen}^2 a\cos a = (2\cos^2 a - 1)\cos a - 2(1 - \cos^2 a)\cos a = 4\cos^3 a - 3\cos a$.

II) $\operatorname{sen} 3a = \operatorname{sen} 2a\cos a + \operatorname{sen} a\cos 2a = (2\operatorname{sen} a\cos a)\cos a + \operatorname{sen} a(1 - 2\operatorname{sen}^2 a)$

$= 2\operatorname{sen} a(1 - \operatorname{sen}^2 a) + \operatorname{sen} a(1 - 2\operatorname{sen}^2 a) = 3\operatorname{sen} a - 4\operatorname{sen}^3 a$.

III) $\operatorname{tg} 3a = \dfrac{\operatorname{tg} 2a + \operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg} 2a\operatorname{tg} a} = \dfrac{\frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a} + \operatorname{tg} a}{1 - \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}\operatorname{tg} a} = \dfrac{2\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} a(1 - \operatorname{tg}^2 a)}{(1 - \operatorname{tg}^2 a) - 2\operatorname{tg}^2 a} = \dfrac{3\operatorname{tg} a - \operatorname{tg}^3 a}{1 - 3\operatorname{tg}^2 a}$。

除法公式

让我们计算 $\frac{x}{2}$ 的三角函数，称为 $x$ 的循环函数之一。

Teorema弧半（给定 cos x）

$$\cos\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \qquad \operatorname{sen}\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \qquad \operatorname{tg}\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$$
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我们知道$\cos 2a = 2\cos^2 a - 1$和$\cos 2a = 1 - 2\operatorname{sen}^2 a$。执行 $2a = x$：

$$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 \;\Longrightarrow\; \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \qquad \cos x = 1 - 2\operatorname{sen}^2\frac{x}{2} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}^2\frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2},$$

e $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = \dfrac{\operatorname{sen}\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}$.

Atenção± 符号

仅当您知道 $\cos x$ 而不知道 $x$ 时，符号才有意义。知道 $\cos x = \cos x_0$，我们有

$$1^{\text{a}} \text{ solução: } x = x_0 + 2k\pi \;\Rightarrow\; \frac{x}{2} = \frac{x_0}{2} + k\pi \;\;(\text{I}) \qquad 2^{\text{a}} \text{ solução: } x = -x_0 + 2k\pi \;\Rightarrow\; \frac{x}{2} = -\frac{x_0}{2} + k\pi \;\;(\text{II})$$

由于 $k$ 可以是偶数或奇数，因此可能存在 4 弧 $\frac{x}{2}$，这为每个函数提供两个对称值。例如，对于余弦：

  • (一)、$k$对：$\cos\frac{x}{2} = \cos\left(\frac{x_0}{2} + 2k_1\pi\right) = \cos\frac{x_0}{2}$；
  • (一)、$k$奇数：$\cos\frac{x}{2} = \cos\left[\frac{x_0}{2} + (2k_1 + 1)\pi\right] = -\cos\frac{x_0}{2}$；
  • (二)、$k$对：$\cos\frac{x}{2} = \cos\left(-\frac{x_0}{2}\right) = \cos\frac{x_0}{2}$；
  • （二）、$k$奇数：$\cos\frac{x}{2} = \cos\left(-\frac{x_0}{2} + \pi\right) = -\cos\frac{x_0}{2}$。

当$\frac{x}{2}$的象限已知时，选择相应的符号。

给定 $\operatorname{sen} x$。 作为 $\cos x = \pm\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x}$，我们从 $\operatorname{sen} x$ 计算 $\cos x$ 并输入上面的公式。

半圆弧正切

让我们写出从 $x$ 到 $\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ 已知的三角函数。由乘法公式可得：

$$\operatorname{sen} 2a = 2\operatorname{sen} a\cos a = 2\operatorname{sen} a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\operatorname{sen} a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg}^2 a} \qquad \operatorname{tg} 2a = \frac{2\operatorname{tg} a}{1 - \operatorname{tg}^2 a}.$$

制作$2a = x$和$a = \frac{x}{2}$，并注意到$\cos x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\operatorname{tg} x}$：

Teorema作为 t = tg(x/2) 的函数

$$\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2} \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \qquad \operatorname{tg} x = \frac{2t}{1 - t^2}, \qquad t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.$$

这三个公式的用法是通过有理表达式将$\operatorname{sen} x$、$\cos x$和$\operatorname{tg} x$替换为单个函数$\operatorname{tg}\frac{x}{2}$。这种类型的替换广泛用于求解三角方程（第七章）。

本节中的练习是[章节列表]中的编号147到170（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap06-transformacoes/05-exercicios/).