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第三章练习——基本关系

在计算练习中，基本关系给出模，象限给出符号。在身份中，指出您使用了三种方法中的哪一种。 从其中之一计算函数 73 已知$\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$和$\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$，计算$x$的其他循环函数。 查看分辨率作为 $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x < 0$，我们有： $$\cos x = -\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \qquad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$$$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}.$$ 74 已知$\operatorname{cossec} x = -\dfrac{25}{24}$和$\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$，计算$x$的其他循环函数。 Ver resposta$\operatorname{sen} x = -\dfrac{24}{25}$, $\cos x = -\dfrac{7}{25}$, $\operatorname{tg} x = \dfrac{24}{7}$, $\operatorname{cotg} x = \dfrac{7}{24}$, $\sec x = -\dfrac{25}{7}$

October 23, 2026 阅读
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身份及其证明

恒等式是一种平等，适用于双方都有意义的所有值。展示恒等式是操纵三角学的重要训练：每一步都使用已经证明的关系。 故事 为了证明身份，有必要以简短的形式编写函数。直到 17 世纪，这种情况还不存在：每种关系都用文字表示——“弧的补码的正弦”、“弯曲弧的正切”——并且单行恒等式占据一个段落。缩写逐渐出现：Gunter在1624的图中使用了sin，法国人Pierre Hérigone将其打印在1634的书中，英国人William Oughtred写了类似的东西s co arc 表示余弦。 欧拉在Introductio (1748)中确立了使用sin.、cos.、*tang.*作为数量 相加、相乘和平方 — 正是这种用法允许您将恒等式作为代数表达式进行操作。 威廉·奥特雷德是谁 William Oughtred (1574–1660) 几乎一生都是伦敦南部村庄奥尔伯里的教区牧师。数学是他的爱好，他向所有出现在他家的人免费教授数学——他的学生包括圣保罗大教堂的建筑师克里斯托弗·雷恩和数学家约翰·沃利斯。他的 Clavis mathematicae (1631) 引入了乘法符号 $\times$，并普及了许多其他符号。在 1622 左右，Ougtred 将两个对数冈特刻度并排放置，并发明了计算尺，工程师们一直使用它，直到 1970 年电子计算器的出现。据说，在得知1660英国君主制复辟后，他在86岁时高兴地去世了。 1620Gunter 提出了余正弦 和余切线。 1624Gunter 在图中使用了缩写 sin。 1626Albert Girard 在他的平板电脑上写下 tan 和 sec。 1634Hérigone 在书中打印了sin。 1657Oughtred，在三角学中，将余弦写为s co arc。 1748欧拉将sin.、cos.、*tang.*修复为数量符号。 奥特雷德计算尺：两个相互滑过的对数冈特刻度。长度相加就是对数相加，即相乘。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 资料来源： Oughtred (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor) · F. Cajori，数学符号史，卷。 II (1929)。 在日常生活中 **地图上的距离。**导航应用程序使用haversine公式计算地球表面的距离，该公式使用恒等式$\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$来避免短距离的舍入误差。 127 V 插座。 插座电压呈正弦曲线振荡；恒等式 $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ 显示均方是峰值平方的一半。因此，“有效”127 V 对应于约 $127\sqrt{2} \approx 180$ V 的峰值。 压缩的照片和音乐。 JPEG 和 MP3 格式将图像和声音分解为余弦和；三角恒等式保证这种分解可以被撤销。 插头电压及其平方：双弧恒等式解释了为什么 180 V 峰值值 127 V rms。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 23, 2026 阅读
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基本关系

本主题中的所有关系都来自两个平面几何工具：勾股定理和三角形相似性。下图显示了我们将使用的三个三角形。 拖动 $P$ 并选择关系。小组以数字方式检查每个相等性。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 故事 在天文学大成中，托勒密已经使用了$\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$的等价物：如果他知道弓的弦，他就可以通过毕达哥拉斯定理在半圆内接的三角形中获得额外的弓弦。正切和割线的关系出现在 Abu al-Wafa（10 世纪）和 Nasir al-Din al-Tusi（13 世纪）的著作中，他们的四边形论文使三角学成为一门独立于天文学的学科。 纳西尔·丁·图西是谁 Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) 出生于今伊朗东北部的图斯，生活在该地区最暴力的时期之一：蒙古入侵。他在阿拉穆特等山区堡垒中为伊斯玛仪统治者工作了大约 25 年——有人说这并不完全是出于他自己的自由意志。当成吉思汗的孙子蒙古旭烈兀在1256占领这些堡垒时，图西加入了他的行列，并陪伴他征服了巴格达。他说服旭烈兀资助在马拉加建造一座大型天文台 (1259)，拥有庞大的图书馆和甚至来自中国的天文学家。在那里，他创造了“al-Tusi 对”，即两个相互旋转的圆，产生直线运动，这一特征在三个世纪后再次出现在哥白尼的著作中。 Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274)，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1201 TusNasce em Tus, no Coração. O pai, jurista, o incentiva a estudar todas as ciências. c. 1220 NishapurEstuda filosofia, medicina e matemática numa das grandes cidades de saber do Irã, pouco antes da chegada dos mongóis. c. 1230–1256 AlamutVive nas fortalezas ismaelitas das montanhas, como Alamut, onde escreve boa parte da obra. 1258 BagdáAcompanha Hulagu, neto de Gengis Khan, na conquista de Bagdá. 1259–1274 MaraghaDirige o grande observatório financiado por Hulagu, com biblioteca e astrônomos vindos de longe. Ali escreve o Tratado sobre o quadrilátero. 1274 BagdáMorre em Bagdá. 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 Os lugares de Nasir al-Din al-Tusi, entre as fortalezas ismaelitas e o observatório de Maragha. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地图：© OpenStreetMap 贡献者

October 22, 2026 阅读
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阅读：傅立叶和热传导

进一步阅读 Leitura 傅立叶和热传导 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) 出生于法国欧塞尔，是一名裁缝的儿子。他在 10 岁之前成为孤儿，在该市由本笃会僧侣开办的军事学校接受教育。当他还是个孩子的时候，他就写过供其他城市的牧师使用的布道文，在 13 岁时，他发现了数学，并且很快就在数学方面表现出色。他准备加入本笃会，但1789革命改变了他的计划。 约瑟夫·傅里叶 (Joseph Fourier)，朱利安·利奥波德·布利 (Julien-Léopold Boilly) 的版画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域 傅立叶满怀热情地投身革命事业——并差点在1794的恐怖中被送上断头台。随着巴黎Escola Normal和Escola Politécnica在巴黎的创建，他成为了一名教授，并开始了使他成名的工作；从那时起，他提出了分离代数方程实根的方法，这是牛顿提出的一个问题。 在1798，他陪同拿破仑远征埃及，在那里他担任开罗研究所秘书，指导工程工作并成为埃及学专家。回到法国后，他被任命为格勒诺布尔伊泽尔省省长，在那里，在 1804 和 1807 之间，他研究了固体中的热传播。为了求解他发现的方程，他将温度写成正弦和余弦的无限和——这是一种与泰勒的级数展开不同的类型，因为它使用周期函数而不是幂。 对于拉格朗日和学院的其他成员来说，任何函数，甚至是那些带有“角”的函数，都可以用这种方式编写的想法似乎很荒谬，他们带着保留接受了 1807 年的回忆录。傅里叶坚持认为，并于 1822 年发表了 夏勒尔分析理论，数学物理学的里程碑。至 傅立叶级数 他们最终要求对函数、收敛和积分的概念进行彻底的修改——狄利克雷、黎曼和康托致力于这项工作——而今天它们无处不在：在音乐和图像的压缩中，在地震分析中和磁共振中。 1830 年傅里叶在巴黎去世。 本章中的波正是傅里叶片段：添加$\operatorname{sen} x$、$\frac{1}{3}\operatorname{sen} 3x$、$\frac{1}{5}\operatorname{sen} 5x$……，曲线变得越来越类似于方波。 傅立叶级数的部分和：使用 1、3 和 10 项，正弦之和近似于方波。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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第二章练习——循环函数

响应图显示完整的周期；虚线出现时，是“参考”函数（$\operatorname{sen} x$ 或 $\cos x$）。要检查您的图表，还可以使用 $a + b\operatorname{sen}(cx + d)$ 资源管理器. 正弦函数 在练习 23 到 42 中，确定给定函数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的周期和图像，并绘制完整周期的图表。 23 $f(x) = -\operatorname{sen} x$. 查看分辨率我们分三步建表：1st）给$x$赋值； 2nd）我们将$\operatorname{sen} x$的值关联到每个$x$； 3rd）我们将 $\operatorname{sen} x$ 乘以 $-1$。 $x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$ $\operatorname{sen} x$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $0$ $y$ $0$ $-1$ $0$ $1$ $0$ 通过此表，我们获得了图形的 5 点，它是正弦曲线相对于 $x$ 轴的对称。立即是$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$和$p(f) = 2\pi$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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余切、正割和余割

最后三个循环函数完成了图片。余切值在与 $B$ 处的循环相接触的水平轴上读取；当我们在 $P$ 中绘制圆的切线并查看它与轴相交的位置时，就会出现正割和余割。 故事 名称“secant”和“tangent”来自圆的几何形状：切线接触圆周（tangere，接触）和割线切割（secare，切割）。在定义图中，线段$\overline{OS}$位于一条直线上，该直线在延伸时与周期相切，线段$\overline{AT}$位于$A$处的切线上。这些部分已经由阿拉伯天文学家制成表格：Abu al-Wafa 在 10 世纪，组织了六个函数，并展示了每个函数如何从其他函数派生出来。 阿布·瓦法是谁 阿布·瓦法·布兹贾尼 （940-998）出生于呼罗珊地区的布兹詹（今伊朗和阿富汗分界线），19 岁时移居巴格达，在白益王朝的天文台工作。计算正弦表 $15'$ 在 $15'$ 精确到小数点后八位，并给出了球面三角形正弦定理的第一个一般演示之一。但他也为那些不是天文学家的人写作：他的一本书向抄写员和商人教授算术，另一本书， 关于工匠所需的几何构造，展示如何使用指南针制作多边形和马赛克 固定开口 ——工匠实际拥有的工具。月球上的一个陨石坑以他的名字命名。 Abu al-Wafa (940–998)，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 来源： Abu al-Wafa (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。 在日常生活中 屋顶（割线）。 横跨屋顶宽度 $d$ 一半、坡度为 $\alpha$ 的椽子尺寸为 $d\sec\alpha$；木匠为此目的砍伐木材。 坡道（余割）。 要以倾斜度 $\alpha$ 爬升高度 $h$，坡道尺寸为 $h\operatorname{cossec}\alpha$。对于巴西无障碍标准的最大坡度（8,33%、$\alpha \approx 4{,}76^\circ$），达到 50 厘米需要大约 6 米的坡道。 阴影（余切）。 一根高度为 $h$ 的棍子，太阳的角度高度为 $\alpha$，会投射出 $h\operatorname{cotg}\alpha$ 的阴影——这就是日晷的原理。 坡道的长度是高度乘以坡度的余割值。测试可访问性标准的 8,33% 限制。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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正切函数

切线测量连接循环中心与点 $P$ 的直线的斜率。它是在垂直轴上读取的，该垂直轴接触 $A$ 处的周期（切轴），并且与正弦和余弦不同，它可以采用任何实值。 故事 切线诞生于远离圆的地方：它诞生于阴影。一根垂直插入地面的棍子，即晷针，投射出阴影，其长度取决于太阳的高度，而阴影和棍子之间的比率，用今天的语言来说，就是切线（或余切线，取决于棍子的位置）。由于日晷和祈祷时间的存在，伊斯兰世界的天文学家需要这些比率，并且第一个已知的影子表是在 860 左右在巴格达制作的。它们通常归因于 Habash al-Hasib。一个半世纪后，al-Biruni汇集了关于阴影的详尽论文中已知的所有内容。 “tangent”这个名字只出现在托马斯·芬克的1583中（见第八章）。 哈巴什·哈西卜是谁 Ahmad ibn Abdallah al-Marwazi（c. 770–870），被称为 Habash al-Hasib —“计算器哈巴什” —，出生于中亚马尔夫，曾在巴格达哈里发宫廷工作al-Ma’mun，也是智慧之家的赞助者，在那里，希腊和印度的作品被翻译成阿拉伯语。他奉哈里发之命参加了在巴格达和大马士革进行的天文观测，并编制了流传了几个世纪的天文表。据阿拉伯传记作家记载，他活了大约一百岁。 阿拉伯天文学家的两个影子。站立的棍子在地面上投射出直影，该影子是太阳高度的余切值；插在墙上的棍子将诗句阴影投射到墙上，这就是切线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 来源： 三角函数 (MacTutor) · al-Biruni (MacTutor)。 在日常生活中 坡道和屋顶。 坡道的坡度（以百分比表示）为 $100 \cdot \operatorname{tg}\alpha$：每水平米，8% 坡道上升 8 厘米。 阴影。 一根高度为 $h$ 的棒被太阳以角度高度 $\alpha$ 照射，投射出长度为 $\dfrac{h}{\operatorname{tg}\alpha}$ 的阴影。 斜坡的斜率（以百分比表示）是 100 乘以角度的正切。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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余弦函数

如果正弦是旋转点的高度，则余弦是其距中心的水平距离。两者相辅相成：当一个达到最大值时，另一个为零。 故事 几个世纪以来，余弦没有自己的名称：它只是“补码的正弦”。 Viète 将其称为sinus residuae，每个作者的写法都不同。在 1620 中，英国人Edmund Gunter在他的卡农三角中提出了缩写形式co-sinus - 以及与之相伴的co-tangens。四年后，Gunter 成为第一个在数字中使用缩写 sin 的人；这些名称被固定下来，前缀 co- 成为所有“补充”功能的品牌。 埃德蒙·冈特是谁 埃德蒙·冈特 (1581–1626) 是一名牧师，1619 是伦敦格雷沙姆学院的天文学教授，该学院向公众开放课程，其中许多课程面向航海家和工匠。冈特是实用乐器的发明者。 冈特尺具有对数、正弦和切线刻度，只需使用指南针即可将其相乘 - 它是计算尺的祖先。更持久的是测量员使用的冈特链：66 英尺长（约 20 米），分为 100 个链节。有了它，一英亩就变成了 10 方形链，而板球场的标准长度 - 22 码 - 至今仍是冈特链。 冈特链：有了它，英亩（英国测量员的面积单位）就变成了精确的 10 方形链。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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正弦函数

正弦是在周期中旋转的点的高度。当点转动时，高度在$-1$和$1$之间升降，绘制出数学中最著名的曲线：正弦曲线。 故事 一千多年来，正弦只是一个表格数字：没有人考虑过绘制它的图形。第一个已知的正弦曲线出现在 1634 附近，出现在法国人 Gilles Personne de Roberval 的关于摆线 的作品中，该曲线由滚轮上的点描述。为了计算摆线下方的面积，罗伯瓦尔使用了一条辅助曲线，他将其称为“摆线的伴曲线”——而这个伴曲线正是正弦曲线。一个世纪后，欧拉开始将正弦视为实数的函数，直到那时，该图才获得了今天的中心地位。 吉尔·德·罗贝瓦尔是谁 Gilles Personne de Roberval (1602–1675) 出生于 Roberval 村附近诺埃尔圣马丁的一个农民家庭，他采用了 Roberval 村的名字。在1634中，他赢得了拉穆斯在巴黎皇家学院的教席，该学院有一个特殊的规则：每三年该职位进行一次竞争，问题由占用者本人提出。为了避免失去工作，罗伯瓦尔对他的方法保密，并设法保留了他的教授职位，直到 40 年多后他去世。代价很高：由于他发表的文章很少，他陷入了与托里拆利、笛卡尔等人的优先权争夺战中，这些人得出了相同的结果并更早地发表了它们。他的名字保留在罗伯瓦尔天平中，这是一种带有铰链机构的两盘秤，由他在 1669 中引入，并在商业中使用了几个世纪。 轮子滚动：边缘上的点 $P$ 绘制摆线，与 $P$ 高度相同且垂直于中心的点 $Q$ 绘制罗伯瓦尔的伴生曲线 - 第一个正弦曲线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 来源： Roberval (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。 在日常生活中 **声音。**那里的音叉每秒振动 440 次；它附近的气压是周期为 $\frac{1}{440}$ s 的正弦曲线。 **交流电。**巴西的插座电压是每秒 60 个周期的正弦波。 **潮汐和季节。**潮汐的高度和全年白天的长度可以通过 $a + b \operatorname{sen}(cx + d)$ 等函数很好地近似。 出口电压是每秒 60 周期的正弦曲线，峰值约为 180 V。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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一般概念和周期函数

在定义循环函数之前，我们为循环配备了四个轴和一种语言来说明数字位于循环的哪个“部分”。然后我们研究所有这些函数的共同属性：周期性。 故事 这个词 正弦 有一个有趣的故事。 5世纪的印度天文学家，例如 阿里亚巴塔，他们设置了半绳，他们称之为 贾阿尔达 或者简单地 贾亚。阿拉伯语翻译者将该术语转录为 三角帆，仅用辅音书写， 新山。在 12 世纪，拉丁语译者阅读 贾布 —“折叠”、“乳房”—并将其翻译为 窦。这 切线 和 割线 他们的名字来自丹麦语 托马斯·芬克，1583 年，前缀 共同 余弦、余切和余割的值，意思是“补”，由下式确定： 埃德蒙·冈特 1620年。 周期函数作为研究对象而不仅仅是一个表格的想法，在 18 世纪随着欧拉而成熟，并在 19 世纪随着傅里叶而爆发，它表明任何周期运动都可以写成正弦和余弦之和（参见文章末尾的阅读）章）。 阿里亚巴塔是谁 Aryabhata (476–550) 在499 写下Aryabhatiya，年龄为23，位于印度北部巴特那附近的库苏马普拉。它们只是 121 诗句，但它们带来了一张 24 正弦表，从 $3^\circ 45'$ 到 $3^\circ 45'$、近似值 $\pi \approx 3{,}1416$ 以及当时的一个大胆声明：地球绕自己的轴旋转，星星的明显运动是一种幻觉，就像船上的人看到海岸在移动一样向后。这些诗句是为了背诵，所以非常简洁；几个世纪以来，印度天文学家撰写评论来解释它们。 1975，印度第一颗人造卫星以他的名字命名。 Aryabhata 雕像（476–550），后来的艺术表现。Cpjha13 · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0 TD图 A[“贾亚-阿达梵文：半弦"] --> B["jya简短形式”] B --> C["jiba阿拉伯语，没有正确的含义”] C --> D["jb仅用辅音书写”] D --> E["贾布读作“折叠”、“乳房””] E --> F["正弦拉丁语, 世纪.十二”] F --> G["正弦"] ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 499 Kusumapura (Patna)Aryabhata escreve o Aryabhatiya. A meia-corda se chama jya-ardha, ou só jya, “corda de arco”. séc. IX BagdáNa Casa da Sabedoria, as tábuas indianas são traduzidas para o árabe. Jya vira jiba, palavra sem significado em árabe, escrita só com as consoantes jb. 1145 SegóviaRobert de Chester traduz para o latim as tábuas de al-Khwarizmi. Lendo jb como jaib — “dobra”, “seio” —, escreve sinus. séc. XII ToledoGerardo de Cremona e outros tradutores de Toledo vertem dezenas de obras árabes de astronomia; sinus se espalha pela Europa. 1583 BasileiaThomas Fincke publica a Geometria rotundi e dá nome à tangens e à secans. 1620 LondresNo Gresham College, Edmund Gunter propõe co-sinus e co-tangens; em 1624 usa pela primeira vez a abreviação sin. 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 A viagem da palavra seno, da Índia à Inglaterra. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地图：© OpenStreetMap 贡献者

October 22, 2026 阅读
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阅读：博尔扎诺，皈依数学的牧师

进一步阅读 Leitura 博尔扎诺，皈依数学的牧师 伯纳德·博尔扎诺 (1781–1848) 在布拉格出生和去世，当时是奥地利帝国的一部分。他是一位天主教牧师和宗教哲学教授，但他的和平主义和对社会秩序的批评的思想令教会和政府感到不满：在1819中，他失去了教授职位，开始离家写作。数学成了他的避难所，而他的同时代人几乎不读他的作品。 伯纳德·博尔扎诺.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 在 1817 中，他发表了Rein analytischer Beweis（“纯分析证明”），其中他无需借助绘图证明了在区间内改变符号的连续函数会抵消当前的中间值定理。为此，他需要一个不依赖于几何直觉的连续性定义。博尔扎诺很早就意识到分析需要严谨，以至于菲利克斯·克莱因称他为“算术之父”。他和柯西从未见过面，但他们对极限、连续性和收敛性的定义非常相似；让他们为人所知的是更有威望的柯西。 在 1834 中，Bolzano 构造了一个函数在某个区间上连续且在任何点都没有导数。该示例尚未发布，最终功劳归于 Weierstrass，他在几十年后重新发现了这些结果。其他作品也遭受了同样的命运：今天我们称之为Bolzano-Weierstrass定理，它保证每个具有无限元素的有限集合至少有一个累加点，并且级数收敛准则之一以柯西的名字命名。 在遗书中 无穷悖论 （1851），博尔扎诺证明有 0 到 1 之间的实数与 0 到 2 之间的实数一样多 — 只需加入 $x$ 这 $2x$ —，或者一厘米线段上的点与两厘米线段上的点一样多。恢复伽利略的观察，他承认无限集合可以与其自身的一部分相对应。他似乎直觉地认为，实数的无穷大与整数的无穷大是另一种类型，只有康托才能将这一想法精确化。说博尔扎诺是“沙漠中哭泣的声音”并非没有道理。 来源： Bolzano (MacTutor) · Bernard Bolzano（斯坦福哲学百科全书）。

October 22, 2026 阅读
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第一章练习——弧和角

分辨率的练习展示了一种方法；以下要求应用它。在打开答案之前尝试每一项。 足弓测量 1 以弧度表示 $225^\circ$。 查看分辨率简单的三法则： $$\begin{array}{rcl} 180^\circ & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 225^\circ & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \text{ rad}.$$ 2 以弧度表示：a)$210^\circ$； b）$240^\circ$； c) $270^\circ$； d）$300^\circ$； e) $315^\circ$； f) $330^\circ$。 Ver respostaa) $\dfrac{7\pi}{6}$ 弧度 b) $\dfrac{4\pi}{3}$ 弧度 c) $\dfrac{3\pi}{2}$ 弧度 d) $\dfrac{5\pi}{3}$ 弧度 e) $\dfrac{7\pi}{4}$ 弧度 f) $\dfrac{11\pi}{6}$ 弧度 3 以度为单位表示 $\dfrac{11\pi}{6}$ rad。 查看分辨率$$\begin{array}{rcl} \pi \text{ rad} & \longleftrightarrow & 180^\circ \\ \dfrac{11\pi}{6} \text{ rad} & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{\frac{11\pi}{6} \cdot 180}{\pi} = 330^\circ.$$ 4 以度表示：a) $\dfrac{\pi}{6}$ rad； b) $\dfrac{\pi}{4}$ 弧度； c) $\dfrac{\pi}{3}$ 弧度； d) $\dfrac{2\pi}{3}$ 弧度； e) $\dfrac{3\pi}{4}$ 弧度； f) $\dfrac{5\pi}{6}$ 弧度。 Ver respostaa) $30^\circ$ · b) $45^\circ$ · c) $60^\circ$ · d) $120^\circ$ · e) $135^\circ$ · f) $150^\circ$

October 22, 2026 阅读