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第九章练习——直角三角形

总是画一个图形：标记直角、数据和未知数。然后选择未知数和数据一起出现的直角三角形。 度量关系 321 计算图中所示的元素$a$、$h$、$m$和$n$（类别$b = 4$和$c = 3$）。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 查看分辨率为 $c = 3$ 和 $b = 4$： $$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$

October 24, 2026 阅读
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解直角三角形

求解直角三角形意味着计算其主要元素：锐角（$\hat{B}$ 和 $\hat{C}$）和边（$a$、$b$、$c$）。为此，有必要提供关于三角形的两个信息，其中至少一个是与其相连的线段的测量值（边长、高度、中线、角平分线等）——只有角度，我们知道形状但不知道大小。 故事 几个世纪以来，解直角三角形一直是测量员、航海家和炮兵的日常工作。为了测量地面角度，英国人 Leonard Digges 描述了一种他称为 theodelitus 的仪器，它是经纬仪的祖先，至今仍出现在街道上的三脚架上。该描述出现在Pantometria（“通用测量”）中，这是伦纳德未完成的一本书，由他的儿子Thomas Digges完成并出版于1571。有了测量的角度和已知的距离，三角函数表就完成了剩下的工作。 迪吉斯人是谁 伦纳德·迪格斯（c. 1515–1559）是一位测量员和实用数学书籍的作者，这些书籍用英语而不是拉丁语写成，以便工匠和士兵可以阅读。在1554他参与了托马斯·怀亚特针对玛丽一世女王的叛乱；他被判处死刑，获得赦免，但失去了土地。几年后他去世了，留下他的儿子 Thomas (c. 1546–1595) 由数学家 John Dee 照顾。托马斯完成了Pantometry，其前言指出，他的父亲结合镜头来观察遥远的物体——比伽利略的望远镜早了几十年，尽管没有证据表明他们用它观察了天空。在 1576 中，托马斯走得更远：他用英语发表了第一个对哥白尼理论的辩护，并将星星画成分布在无限宇宙中，而不是束缚在一个球体上。 无需攀爬即可测量塔楼：使用经纬仪测量从瞄准器到顶部的角度 $\alpha$，使用链条测量到底座的距离 $d$；仪器上方的高度为 $h = d\operatorname{tg}\alpha$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 24, 2026 阅读
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直角三角形中的三角比

让我们证明将直角三角形的边的测量值与角的测量值联系起来的三个属性。它们将我们迄今为止研究的循环三角学与一切开始的三角形三角学联系起来。 故事 据说，米利都传说（公元前六世纪）通过将埃及大金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量埃及大金字塔的高度：在同一时刻，太阳与两个物体形成相同的角度，并且两者的高度和影子之间的比例相同。这正是本章的思想——一旦角度固定，直角三角形两条边之间的比率就固定了——尽管对于泰勒斯来说，这些比率仍然没有名称或表格。这个故事是由后来的作家写给我们的，比如第欧根尼·拉尔修斯和普鲁塔克。 米利都的泰勒斯是谁？ 传说（约公元前 624–546 BC）生活在米利都，这是一座位于今土耳其海岸的富裕希腊城市，希腊人将他视为七贤之一。他被认为是第一个尝试在不求助诸神的情况下解释自然的人——对他来说，一切都来自于水——并且是第一个展示几何性质而不是仅仅使用它们的人。历史学家希罗多德说，他在公元前 585 预言了一次日食，中断了吕底亚人和米底人之间的战斗。两件轶事展示了他名气的两个方面。柏拉图说，泰勒斯在夜里散步看星星时掉进了井里，一个奴隶嘲笑他只想知道天上有什么，却看不到脚下有什么。亚里士多德说，泰勒斯指责哲学毫无用处，他通过天文学预测橄榄会大丰收，并提前租用了该地区所有的橄榄压榨机并致富——只是为了证明哲学家可以随时赚钱。 泰勒斯和大金字塔：在同一时刻，金字塔和一根棍子的高度和阴影的比例是相同的。改变太阳的高度：阴影改变，计算的高度不变。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. **书中的直角三角形。**在巴格达影子碑和现代碑之间，带有它们名字的直角三角形被绘制并重新绘制： c. 850Habash al-Hasib（艾哈迈德·伊本·阿卜杜拉）在他的天文学手稿中使用阴影和半弦。 1220比萨的列奥纳多（斐波那契）在实践几何中，将弦和三角形应用于土地的测量。 1551Rheticus，在正则三角学说中，通过直角三角形的边定义了六个函数。 1558Francesco Maurolico 编辑了墨涅拉俄斯的球面，包括球面桌子和三角形。 1620Edmund Gunter，在卡农三角中，介绍了余正弦和余切线。 来源： 故事 (MacTutor) · 第欧根尼·拉尔修斯 (Diogenes Laertius)，杰出哲学家的传记，I.27 · 亚里士多德，政治，I.11。 在日常生活中 **用手机测量建筑物的高度。**测角仪应用程序可测量与顶部的角度。在距离建筑物 30 米处，对于 $40^\circ$，眼睛上方的高度为 $30\operatorname{tg} 40^\circ \approx 25{,}2$ 米。 飞机着陆。 最终下降发生在距跑道约 $3^\circ$: 10 公里处，飞机高度为 $10\,000\operatorname{tg} 3^\circ \approx 524$ 米。 **土地坡度。**测量员和工程师根据坡度的切线（以百分比表示）对土地进行分类，以确定可以建造的位置。 用手机测量建筑物的高度：距离、角度和切线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 24, 2026 阅读
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度量元素和关系

我们知道，当三角形的一个内角是直角时，它就是矩形。在本章中，我们将发展一种几何三角理论，使我们能够基于最少的数据来计算直角三角形的线段和角度的测量值。 故事 直角三角形的度量关系是数学中最古老的度量关系之一。公元前 1800 左右的巴比伦泥板，例如著名的 Plimpton 322，列出了满足 $a^2 = b^2 + c^2$ 的数字组，而 YBC 7289 泥板给出了 $\sqrt{2}$ 的极好近似值，即正方形边上 1 的对角线。然而，该定理的第一个已知证明是希腊语：它出现在欧几里得几何原本第一卷的命题47（大约公元前300），传统上将其归因于毕达哥拉斯学派。 毕达哥拉斯是谁 毕达哥拉斯（约公元前570–495）出生于萨摩斯岛，按照传统前往埃及和巴比伦，在意大利南部的克罗托纳建立了一个社区，同时也是一所学校、宗教派别和政党。毕达哥拉斯学派相信灵魂轮回，吃素，不吃蚕豆，并对他们的发现保密——因此不可能知道大师做了什么，弟子做了什么。学校的座右铭是“一切皆数字”：他们发现悦耳的音符与弦长 $2:1$、$3:2$ 和 $4:3$ 的简单比例相对应。传说，毕达哥拉斯在证明该定理时，向众神献祭了一百头牛——这与素食主义并不相符。具有讽刺意味的是，该定理本身导致人们发现平方的对角线不是整数之比，从而破坏了“一切都是数字”的想法。 萨摩斯岛的毕达哥拉斯（公元前 570–495），后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 几何原本的命题I.47的图形。虚线从$A$垂直于斜边延伸，将红色正方形分成两个矩形：欧几里得证明每个矩形都有一个较小正方形的面积，因此$a^2 = b^2 + c^2$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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第八章练习——不等式

在每个不等式中，画出循环：标记辅助线，突出显示相应的弧，然后才写出间隔，从$A$开始。不满足严格不等式的点开放。 正弦不等式 271 求解不等式 $0 \le \operatorname{sen} x < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。 查看分辨率$x$的图像必须位于圆弧与直线$r$（$v = 0$）和$s$（$v = \frac{\sqrt{3}}{2}$）之间的平面范围的交点处，包括$r$并排除$s$： Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. $$2k\pi \le x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x \le \pi + 2k\pi.$$ 272 求解不等式 $\operatorname{sen} x \ge 0$。 Ver resposta$S = \{x \in \mathbb{R} \mid 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi\}$

October 24, 2026 阅读
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正切不等式

对于切线，边界不再是平行于轴的直线，而是通过中心的直线 $OT$：它将循环切割成两个直径相对的点，并且解总是成对相对于 $O$ 对称的弧 — 具有周期 $\pi$ 的切线的反射。 故事 名称切线 来自我们用来测量它的轴：线段 $\overline{AT}$ 位于 $A$ 处循环的切线上。这个词的拉丁语tangens是由丹麦数学家Thomas Fincke在Geometria rotundi (1583)一书中与secans一起引入的。此前，阿拉伯人在一项与日晷相关的研究中已经将这个星等计算为太阳照射的垂直杆的“阴影”（见第二章）。 托马斯·芬克是谁 托马斯·芬克 (1561–1656) 出生于弗伦斯堡，当时在丹麦王国，在出版Geometria rotundi（“圆的几何”）时才年仅 22 岁，这本书以切线和割线命名，并带来了定律切线（第十章）。随后，他在意大利和瑞士学习医学，从 1591 起，他成为哥本哈根大学的教授——首先是数学，然后是修辞学，最后是医学——并在那里任教超过 60 年。他于95去世，创下了当时的长寿纪录。 来源： Fincke (MacTutor) · 三角函数 — 历史 (MacTutor)。 在日常生活中 **无障碍。**巴西标准将斜坡限制为倾斜度的 8,33%：$\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$，即 $\alpha \le 4{,}76^\circ$。 **屋顶。**瓷砖需要最小坡度，约为 30%，具体取决于型号，以便排水：$\operatorname{tg}\alpha \ge 0{,}30$，即 $\alpha \ge 16{,}7^\circ$。 道路。“急坡”标志警告坡度切线超过一定值的路段，这对重型卡车来说是危险的。 可访问性范数是正切不等式：$\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 理论 tg x > m 的分辨率 Resumo · 路线图 在切轴上标记点 $T$，使得 $\overline{AT} = m$ 并绘制直线 $r = \overleftrightarrow{OT}$。 实数 $x$ 的图像，使得 $\operatorname{tg} x > m$ 位于圆与角 $r\hat{O}v$ 的交点处（直线 $r$ 和轴 $v$ 之间，在 $T$ 一侧），且其对边位于顶点。 描述适当的间隔。

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余弦不等式

对于余弦，辅助线是垂直：$\cos x > m$ 的解在其右侧，$\cos x < m$ 的解在其左侧。 故事 我们在本书中使用的区间表示法，用“转”括号表示排除的极值 - $\left]a, b\right[$ - 是法国传统；它是由 Nicolas Bourbaki 团体在 20 世纪传播的，该团体是法国数学家的集体笔名，他们在一系列书籍中重写了数学基础。在英语国家，带括号的表示法 $(a, b)$ 更为常见。 尼古拉斯·布尔巴基是谁 尼古拉斯·布尔巴基从未存在过。在1934，一群年轻的法国数学家——其中包括安德烈·韦尔、亨利·嘉当、克劳德·谢瓦莱和让·迪厄多内——决定写一篇论文，从基础上彻底重建数学。他们用一个虚构的名字签名，这个名字取自高等师范学院学生的恶作剧和 19 世纪法国将军查尔斯·布尔巴基 (Charles Bourbaki) 的名字。这个笑话被认真对待：布尔巴基收到了一份传记、国籍（“波尔达维亚”，一个虚构的国家）、他女儿的结婚请柬，甚至还申请加入美国数学会，但遭到拒绝。成员随着时间的推移而发生变化，通常在 50 岁时离开。除了区间符号之外，我们还欠该群空集的符号 $\varnothing$ 以及单词 注入器、满射器 和 双射器。 来源： 布尔巴基 (MacTutor) · 集合论和逻辑符号的最早使用 (Jeff Miller)。 在日常生活中 相机和游戏。 当一个点与相机轴之间的角度 $\theta$ 满足 $\cos\theta > \cos\beta$ 时，该点位于光圈 $2\beta$ 的相机的视野中；游戏正是使用此测试来确定一个角色是否“看到”另一个角色。 定向天线。 当相对于其方向的偏差 $\theta$ 为 $\cos\theta > 0{,}9$（即 $\theta < 25{,}8^\circ$）时，定向 Wi-Fi 天线会提供良好的信号。 照明。 当光线到达 $\cos\theta > \frac{1}{2}$（即距垂直方向小于 $60^\circ$）时，墙壁就被灯照亮了。 当$\cos\theta > \cos\beta$时物体出现在图像中：相机和游戏一直进行此测试。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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正弦不等式

令$f$和$g$为变量$x$的两个三角函数。求解不等式$f(x) < g(x)$就是获得数字$r$的集合$S$——解集或真值集，其中$f(r) < g(r)$是一个真句子。 故事 信号$<$和$>$出现在Artis analyticae praxis一书中的1631中，该书在英国数学家Thomas Harriot（同时也是天文学家和航海家）去世十年后出版。符号 $\le$ 和 $\ge$（符号下有破折号）是由法国数学家和水文学家 Pierre Bouguer 在 1734 中引入的。在此之前，不平等被完整地写出来——“大于”、“小于”。 托马斯·哈里奥特是谁 托马斯·哈里奥特 （c. 1560–1621）开始了作为航海老师的生活 沃尔特·罗利爵士伊丽莎白一世宫廷里的冒险家。1585 年，他踏上了罗利探险之旅，前往罗阿诺克岛（位于今北卡罗来纳州）；他学习了阿尔冈昆语，并写了一本关于这片土地及其居民的记述——这是他一生中出版的唯一一本书。回到英国后，在诺森伯兰伯爵的保护下，他致力于代数、光学和天文学：1609 年 7 月，比伽利略早几个月，他用望远镜对准月球，画出了他所看到的东西。但哈里奥特几乎什么也没发表，数千页的手稿几个世纪以来一直被遗忘。他死于鼻癌，可能是由烟草引起的，这是他从美国带来的一种习惯。 1557Robert Recorde 发明了符号 $=$：“两条平行直线，因为没有什么比这更平等了”。 1631打印 Harriot 信号 $<$ 和 $>$。 1734Pierre Bouguer 介绍了 $\le$ 和 $\ge$。 资料来源： F. Cajori，数学符号史，卷。 I (1928)，§§ 484–485 · Harriot (MacTutor)。 在日常生活中 **摩天轮。**在第七章的摩天轮中，舱室在29米以上的同时$\operatorname{sen}\theta > \frac{1}{2}$，即在$\frac{1}{3}$圈期间：每10分钟3分钟20秒。 **太阳能。**水平面板仅在太阳足够高时产生有用的能量；要求至少最大强度的一半就是要求$\operatorname{sen} h > \frac{1}{2}$，即太阳高于$30^\circ$。 **低潮时穿越。**步行穿越沙洲的时间是$a + b\operatorname{sen}(ct + d) < m$类型不等式的解。 客舱在所选高度上方停留多长时间？绿色带是不平等的解决方案。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 24, 2026 阅读
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阅读：欧拉，分析的化身

进一步阅读 Leitura 欧拉，分析的化身 莱昂哈德·欧拉 （1707-1783）出生于瑞士巴塞尔。他的父亲是一位新教牧师，希望他从事宗教事业，但这位年轻人是 约翰·伯努利当时欧洲最伟大的数学家，他很快就认识到了他的才华，并说服了家人让他学习数学。 莱昂哈德·欧拉，如图 1753。雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 · 维基共享资源 · 公共领域 在1727，二十岁的时候，他去了俄罗斯新成立的圣彼得堡科学院，他的老师的儿子丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利已经在那里工作了。 1738 左右，因病，右眼失明。 1741年，他接受了腓特烈大帝的邀请，在柏林学院度过了25年；在1766他回到了圣彼得堡，并在那里一直呆到去世。回来后不久，白内障夺走了他另一只眼睛的视力：欧拉在生命的最后十七年几乎失明了——正是在这段时间里，他完成了几乎一半的工作，向助手发号施令，并在头脑中进行大量计算。 欧拉几乎涵盖了所有领域：分析、数论、几何、力学、天文学、光学、音乐、造船。他的书被广泛阅读，以至于他使用的许多符号已经成为我们的符号：$e$ 表示自然对数的底数，$\pi$ 表示周长与直径的比率，$i$ 表示 $\sqrt{-1}$，$f(x)$ 表示函数，$\Sigma$ 表示和，小写字母 $a$、$b$、$c$ 表示与角 $A$、$B$、$C$ 相对的三角形的边。 对于三角学来说，决定性的著作是 1748 的Introductio in analysinInfinityrum（“无穷大分析简介”）。其中，正弦和余弦不再是任意半径圆的线段，而是成为一个数字的函数，在半径为1的圆上测量——这正是本书的三角循环。还出现了将三角学与指数联系起来的著名公式： $$e^{ix} = \cos x + i\operatorname{sen} x.$$欧拉于 1783 在圣彼得堡去世，享年 76。天文学家弗朗索瓦·阿拉戈 (François Arago) 表示，他的计算“毫不费力，就像人的呼吸和老鹰在空中的支撑一样”；他的同时代人称他为分析化身。 来源： Euler (MacTutor) · L. Euler，无限分析简介 (1748)。

October 24, 2026 阅读
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第七章练习——方程

对于每个方程，首先问：它简化为什么基本方程？写出解族后，检查它们是否都不能抵消原方程中的分母。 方程 sin α = sin β 193 解方程组： a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5}$; b）$\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3}$； c) $\operatorname{sen} x = 0$； d）$\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2}$； e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$； f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; g) $\operatorname{sen} x = 1$; h) $\operatorname{sen} x = -1$。 查看分辨率a) $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{5} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{4\pi}{5} + 2k\pi\right\}$。 b) $\operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}\dfrac{2\pi}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{\operatorname{sen} x} = \dfrac{1}{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}} \Rightarrow \operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\dfrac{2\pi}{3}$，然后 $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right\}$。 c) $\operatorname{sen} x = 0 = \operatorname{sen} 0 \Rightarrow x = 2k\pi$ 或 $x = \pi + 2k\pi = (2k + 1)\pi$。 $\;S = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi\}$。 d) $\operatorname{sen} x = \dfrac{1}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{6}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}$. e) $\operatorname{sen} x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{5\pi}{4}$，然后是 $x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi$。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi \text{ ou } x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right\}$。 f) $\operatorname{sen} x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{3}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\right\}$. g) $\operatorname{sen} x = 1 = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{2}$（两个系列一致）。 $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right\}$。 h) $\operatorname{sen} x = -1 = \operatorname{sen}\dfrac{3\pi}{2}$. $\;S = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right\}$.

October 24, 2026 阅读
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反圆函数

方程 $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ 有无穷多个解，但没有一个是值得注意的弧。解决方案怎么写？我们需要一个“正弦为 $\frac{1}{3}$ 的弧”的名称。问题是这样的弧有无数个；因此名称指定 a 数字，我们选择一个正弦不重复的区间。此选择定义了逆循环函数。 故事 符号 $\operatorname{arc\,sen} x$ —“正弦为 $x$ 的弧” — 由 丹尼尔·伯努利 在 1729 中使用，并由奥地利数学家 约瑟夫·谢弗 在 1772 中使用，并受到 拉格朗日 和其他数学家的关注。 18世纪末的作家。计算器中常见的符号$\operatorname{sen}^{-1} x$是由英国天文学家John Herschel在1813中通过类比函数的逆函数提出的；它的缺点是容易与$\frac{1}{\operatorname{sen} x}$混淆，这就是本书中我们使用$\operatorname{arc\,sen}$的原因。 约翰·赫歇尔是谁 约翰·赫歇尔 (1792–1871) 是天文学家威廉·赫歇尔的儿子，他发现了天王星。当他还是剑桥大学的学生时，他就与查尔斯·巴贝奇和乔治·皮科克一起创立了分析学会 (1812)，该组织希望将莱布尼茨的微积分符号 $dy/dx$ 引入英国，以取代牛顿的点 $\dot{y}$ — 他们开玩笑说，他们捍卫“数学原理”纯粹的D主义反对大学的Dot-age”（dotage意思是“衰老”）。正是在这种符号努力中，他的 $\operatorname{sen}^{-1}$ 出现了。赫歇尔在开普敦待了四年，绘制了南半球天空的星星图，他是摄影术的先驱之一：他发明了蓝晒法，即古代工程植物的蓝色处理方法，并普及了摄影术、负片和正片等词。他被安葬在威斯敏斯特教堂，牛顿旁边。 1729丹尼尔·伯努利写道“A S”。对于正弦给定的弧。 1772Joseph Scherffer 使用arc。罪恶。 世纪末。十八拉格朗日等人传播了反正弦。 1813John Herschel 提议 $\sin^{-1} x$。 今天计算器使用$\sin^{-1}$；巴西书籍，$\operatorname{arc\,sen}$。 来源： John Herschel (MacTutor) · F. Cajori，数学符号史，卷。 II (1929)，§§ 532–535 · 函数符号的最早使用 (Jeff Miller)。 在日常生活中 陡峭的街道。 坡度为 20% 的街道水平方向每 100 米升高 20 米；角度为 $\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$。 **梯子。**安全规则要求将梯子的底部 1/4 移离墙壁；与地板的角度为 $\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$。 **手机作为水平仪。**加速度计测量落在设备每个轴上的重力，水平仪应用程序计算与切线弧的倾斜度。 从安全规则（距腿长度 1/4）到角度：$\operatorname{arc\,cos}\frac14 \approx 75{,}5^\circ$。使用按钮。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 24, 2026 阅读
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区间和经典方程的解

到目前为止，我们已经求解了 $\mathbb{R}$ 中的方程，获得了无穷个解族。然而，通常情况下，只有 范围 内的解才有意义，例如，位于 $0$ 和 $\pi$ 之间的三角形的角度。某些方程出现得太多，以至于它们有自己的方法：它们是经典方程。 故事 方程 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ 是同一周期的两次振荡之和的方程：它出现在天文学（两个圆周运动的组合）、波动物理学和电力（异相交流电）中。将 $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ 重写为单个位移正弦曲线（辅助角 $\theta$）的技巧已被 18 世纪的天文学家使用。它在 19 世纪末获得了工业上的重要性，当时工程师 Charles Steinmetz 在 1893 中表明，交流电可以作为复数相加：每个正弦波变成一个具有长度（振幅）和斜率（相位）的箭头，而添加振荡就成为添加箭头。这正是我们在编写 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$ 时所做的。 查尔斯·斯坦梅茨是谁 Charles Proteus Steinmetz (1865–1923) 出生于普鲁士布雷斯劳（现波兰弗罗茨瓦夫），患有残疾，导致背部弯曲，身材矮小。作为一名数学系学生，他加入了一家社会主义报纸，并在被捕的威胁下逃离了德国。于 1889 抵达美国，几乎没有钱，也不会说英语。几年之内，他成为斯克内克塔迪通用电气公司的首席工程师，在那里他被称为“斯克内克塔迪巫师”。他的复数方法使设计当今为家庭供电的交流电网络成为可能。据说，他被叫去修理一台没人能工作的机器，他检查了机器，并在缺陷处用粉笔画了一个“X”。费用很高，GE要求提供细节；据报道，斯坦梅茨回应道：“用粉笔标记 X：1 美元。知道在哪里标记：9.999 美元。” Steinmetz 相量：$a\operatorname{sen}x + b\cos x$ 是旋转箭头的高度，该箭头的长度为 $\sqrt{a^2 + b^2}$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 23, 2026 阅读