Hero Image
解决三角形并讨论不明确的情况

什么数据决定三角形？ 解三角形就是从足够的数据中获取它的边和角。始终使用约定：$a,b,c$ 与 $A,B,C$ 相对。非退化三角形的正边和角度在 0 和 $\pi$ 之间。 一侧和两个角 已知$a,B,C$，计算$A=\pi-B-C$。 $B+C<\pi$ 为必填项。正弦定理给出： $$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$数据确定三角形、减去位置和反射。 两条边以及它们之间的角度 已知 $b,c,A$，使用 $0

October 21, 2026 阅读
Hero Image
高度、Heron、中位数、角平分线 和半径

从侧面获取特殊测量值 考虑边数 $a,b,c$、面积 $K$ 和半周长 $s=(a+b+c)/2$。我们需要一个非退化三角形：正边且每条边都小于其他两条边的总和。 演示海伦公式 根据余弦定律，$\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$。在$K=bc\sin A/2$中，使用$\sin^2A=1-\cos^2A$： $$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$面积为正，因此： $$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$高地 作为$K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$： $$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$代入 Heron 表达式，得出每个高度仅是边的函数。 $h_a=b\sin C=c\sin B$ 及其排列也是有效的。 中位数 中线 $m_a$ 将 A 连接到 BC 的中点。将基端放置在 $(-a/2,0)$ 和 $(a/2,0)$ 处，将 A 放置在 $(u,v)$ 处。将端点距离的平方相加得出： $$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+\frac{a^2}{2}.$$作为 $m_a^2=u^2+v^2$，其结果是： $$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$交换索引得到 $m_b$ 和 $m_c$。 角平分线 内部 A 的 角平分线 在 D 中与 BC 相交，并将角度分成两等份。 ABD 和 ACD 的面积比率为 $c:b$，因为它们相对于直线 BC 具有相同的高度，也可以通过 $A/2$ 的正弦来计算。标识： $$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$角平分线$t_a=AD$各边计算的面积之和为：

October 21, 2026 阅读
Hero Image
正弦、余弦、投影和面积定律

修复符号 在非退化三角形中，角 $A,B,C$ 分别与边 $a,b,c$ 相对。所有面均为正且 $A+B+C=\pi$。 余弦定律的演示 将顶点 A 放置在原点，B 放置在 $(c,0)$ 处，C 放置在 $(b\cos A,b\sin A)$ 处。 B 和 C 之间的距离是 $a$。将毕达哥拉斯定理应用于坐标差： $$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$该论证也适用于钝角。如果$A=\pi/2$，余弦项为零，我们再次找到毕达哥拉斯。排列字母可得出另外两个余弦定律。 正弦定理的面积和证明 即使脚落在底座延伸部分上，相对于 $c$ 的高度也会测量为 $b\sin A$。面积 $K$ 为： $$K=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}.$$将三个表达式相等并除以 $abc/2>0$ 得出： $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$如果$R$是外接圆的半径，则内切角$A$所对的弦满足$a=2R\sin A$。对于高 $A$，这来自于将由弦和两个半径形成的三角形分成两半；对于 $A$ 钝角，使用相同正弦的补充。在直的情况下，弦是直径。所以： $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$$ $$K=\frac{abc}{4R}.$$投影关系 围绕一侧方向的位移相加，并带有符号。将边 $c$ 和 $b$ 投影到 $a$ 的直线上：

October 21, 2026 阅读
Hero Image
正弦、余弦和正切不等式

选择弧线，而不仅仅是点 像 $\sin x=m$ 这样的方程用水平线标记交汇点。不等式 $\sin x>m$ 选择这条线上方的弧； $\sin x

October 21, 2026 阅读
Hero Image
反正弦、反余弦和反正切

为什么需要限制？ 逆运算需要从输出中检索单个输入。正弦、余弦和正切重复值。为了定义逆，我们选择每个函数一对一并达到其整个所需图像的区间。 功能受限 选择的域 图像 正弦 $[-\pi/2,\pi/2]$ $[-1,1]$ 余弦 $[0,\pi]$ $[-1,1]$ 切线 $(-\pi/2,\pi/2)$ $\mathbb R$ 在这些区间中，正弦和正切严格递增，余弦严格递减。每个输出仅出现一次；因此，逆矩阵是明确定义的。 定义和领域 $$y=\arcsin t\iff\sin y=t,\quad-\frac\pi2\le y\le\frac\pi2,$$ $$y=\arccos t\iff\cos y=t,\quad0\le y\le\pi,$$ $$y=\arctan t\iff\tan y=t,\quad-\frac\pi2

October 21, 2026 阅读
Hero Image
区间和经典三角方程

过滤一个家庭 要求解$\sin x=1/2$至$[0,4\pi)$，首先获得族$x=\pi/6+2k\pi$和$x=5\pi/6+2k\pi$。然后施加范围的限制。解决方案是： $$\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6,\quad\frac{13\pi}6,\quad\frac{17\pi}6.$$末端的包含符号很重要。平方或乘以变量表达式后，将答案代入初始方程。 正弦和余弦的组合 要求解 $a\sin x+b\cos x=c$，请使用 $(a,b)\ne(0,0)$、设置 $R=\sqrt{a^2+b^2}$ 并选择 $\varphi$： $$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$这是可能的，因为这两个数字的平方加起来为 1。使用加法公式： $$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi).$$当 $|c|\le R$ 时，方程有实数解。例如，$\sin x+\cos x=1$相当于$\sin(x+\pi/4)=\sqrt2/2$。返回 $x=2k\pi$ 或 $x=\pi/2+2k\pi$。 成为产品的总和 正弦或余弦之和可以转化为乘积。在 $\sin3x+\sin x=0$ 处，我们得到 $2\sin2x\cos x=0$。解决每个零因素并将家庭聚集在一起，消除重复。不要除以可能为零的因子。 第四次权力 平方 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 得出： $$\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x =1-\frac12\sin^22x.$$因此，$\sin^4x+\cos^4x=A$相当于$\sin^22x=2(1-A)$。如果$1/2\le A\le1$，则只有一个解决方案。提取正弦的两个可能的符号并求解。 第六次幂 将 $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$ 与 $u=\sin^2x$ 和 $v=\cos^2x$ 一起使用。像$u+v=1$： $$\sin^6x+\cos^6x=1-\frac34\sin^22x.$$当且仅当 $1/4\le A\le1$ 时，右侧 $A$ 的方程有解。 在日常生活中 弹簧。 弹簧上质量的位置 $a\operatorname{sen}\omega t + b\cos\omega t$ 变成振幅为 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 的单个正弦曲线。 叠加的波。 两个相同频率、异相的声音叠加成一个波；幅度取决于滞后。 **范围内的答案。**在物理问题中，只有在一定范围内的解才有用，例如 $0^\circ$ 和 $90^\circ$ 之间的发射角度。 弹簧上的 $a\operatorname{sen}t + b\cos t$：振幅 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 的单次振荡。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
Hero Image
正弦、余弦和正切的基本方程

该方程寻找输入 三角方程要求变量的值使等式成立。在转换表达式之前，确定其域。除以可以为零的函数可以消除解。 对于$\sin x=m$或$\cos x=m$，需要$-1\le m\le1$。对于切线，任何实数 $m$ 都是可能的，但 $\cos x=0$ 处的条目仍然被禁止。 正弦系列的演示 一条水平线最多在两个点处切割循环。如果其中一个对应$\alpha$，则另一个对应$\pi-\alpha$。当整圈重复缝合时： $$\sin x=\sin\alpha\iff \begin{cases} x=\alpha+2k\pi,\ \text{ou}\\ x=\pi-\alpha+2k\pi, \end{cases}\qquad k\in\mathbb Z.$$在正弦极值处，两个族可以重合；这不会添加不同的解决方案。 余弦和正切 垂直线给出了 $\alpha$ 和 $-\alpha$ 的位置： $$\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi.$$两个相反的方向具有相同的垂直/水平比： $$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi,$$只要 $\tan\alpha$ 存在。这些公式还解决了表达式函数之间的等式：将 $x$ 和 $\alpha$ 替换为相应的参数并求解所得方程。 完整示例 求解 $\sin2x=\sin(\pi/3)$。可能性是： $$2x=\frac\pi3+2k\pi\Rightarrow x=\frac\pi6+k\pi,$$ $$2x=\pi-\frac\pi3+2k\pi\Rightarrow x=\frac\pi3+k\pi.$$两个家庭都需要。等式 $\sin u=\sin v$ 不仅仅意味着 $u=v$。 参考案例 $$\sin x=0\iff x=k\pi,$$ $$\cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi,$$ $$\tan x=0\iff x=k\pi.$$以度为单位，将 $\pi$ 更改为 $180°$，将 $2\pi$ 更改为 $360°$，所有项均保持相同单位。 在日常生活中 **摩天轮。**找到小屋达到一定高度的时刻正在解决$\operatorname{sen}\theta = m$。 插座。 60 Hz 的电压每秒抵消 120 次：基本方程的解。 **潮汐。**高潮时间形成一系列解决方案，每个时期都有一个解决方案。 驾驶室高度：每个目标高度每回合给出两个解决方案。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
Hero Image
将和转化为乘积，将乘积转化为和

将两个已知公式相加 写出 $\sin(a+b)$ 和 $\sin(a-b)$ 的公式。将它们加在一起，带有 $\cos a\sin b$ 的项相互抵消： $$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.$$现在执行 $u=a+b$ 和 $v=a-b$。然后是$a=(u+v)/2$和$b=(u-v)/2$。这产生了下面的第一个恒等式；其他情况来自加或减正弦和余弦公式： $$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$这些恒等式对于所有实数 $u,v$ 都有效。在后一种情况下，负号是必不可少的。 走另一条路 重新排列相同的公式： $$2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b),$$ $$2\cos a\sin b=\sin(a+b)-\sin(a-b),$$ $$2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b),$$ $$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b).$$一种产品对于找零可能更有用；总和对于将各项组合在一起或计算精确值可能更有用。 示例：通过因子求解 在 $\sin3x+\sin x=0$ 处，变换给出： $$2\sin2x\cos x=0.$$因此 $\sin2x=0$ 或 $\cos x=0$。第一个系列是 $x=k\pi/2$，第二个系列是 $x=\pi/2+k\pi$。后者已经包含在第一个中。所有解的集合是$\{k\pi/2:k\in\mathbb Z\}$。 精确计算示例 $$\sin75°+\sin15°=2\sin45°\cos30°=\frac{\sqrt6}{2}.$$不需要小数近似。角度的平均值决定一个因素，而差异的一半决定另一个因素。 在日常生活中 节拍。 440 Hz 和 442 Hz 的两个音符听起来就像每秒脉冲 2 次的 441 Hz 音符 — 总和成为乘积。 电话键。 每个键添加两个频率；控制单元分离和以识别密钥。 AM 收音机。 将声音乘以载波即可产生收音机拾取的频率和和频率差。 乘积中的正弦和：音乐家用来调音的节拍。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
Hero Image
圆弧半除法和正切公式

隔离正方形 我们从身份 $\cos2u=1-2\sin^2u$ 和 $\cos2u=2\cos^2u-1$ 开始。制作 $u=x/2$ 并隔离： $$\sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}{2}.$$最后： $$\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}},\qquad \cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$这些符号不是自由选择的：它们是由图像象限$x/2$决定的。如果 $0

October 21, 2026 阅读
Hero Image
双弧和三弧的正弦、余弦和正切

应用于自身的加法公式 将$b=a$替换为加法公式： $$\sin2a=2\sin a\cos a,$$ $$\cos2a=\cos^2a-\sin^2a.$$基本恒等式允许余弦有两种其他形式： $$\cos2a=1-2\sin^2a=2\cos^2a-1.$$选择取决于可用的数据。如果我们只知道正弦，第一个替代表达式可以避免计算余弦并选择其符号。 如果存在切线： $$\tan2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}.$$带有$\tan a$的表格需要$\cos a\ne0$和$1-\tan^2a\ne0$；不涵盖 $\tan2a$ 存在的所有情况。 三重公式演示 写入$3a=2a+a$。对于正弦： $$\begin{aligned} \sin3a&=\sin2a\cos a+\cos2a\sin a\\ &=2\sin a\cos^2a+(1-2\sin^2a)\sin a\\ &=2\sin a(1-\sin^2a)+\sin a-2\sin^3a\\ &=3\sin a-4\sin^3a. \end{aligned}$$同理，将和的余弦展开并代入$\sin^2a=1-\cos^2a$： $$\cos3a=4\cos^3a-3\cos a.$$将正弦除以余弦并化简，得到 $t=\tan a$： $$\tan3a=\frac{3t-t^3}{1-3t^2},$$其中 $\tan a$ 存在且 $1-3t^2\ne0$。零分母对应于表达式中的中断。 已知原因的示例 如果$\sin a=3/5$和$\cos a=4/5$： $$\sin2a=\frac{24}{25},\qquad\cos2a=\frac7{25},$$ $$\sin3a=\frac{117}{125},\qquad\cos3a=-\frac{44}{125}.$$正弦和负余弦表明$3a$的图像位于第二象限。乘以角度时，符号可能会改变。 在日常生活中 投掷。 投掷的范围与 $\operatorname{sen} 2\theta$ 成正比；这就是为什么$30^\circ$和$60^\circ$到达同一个地方而$45^\circ$走得更远。 **电功率。**电阻器中的功率与 $\operatorname{sen}^2\omega t = \frac{1 - \cos 2\omega t}{2}$ 成正比：它以电压频率的两倍振荡，每秒 120 次。 三重角度。 将一个角度分成三份（三等分）会得到一个三阶方程，与 $\cos 3a$ 中出现的方程相同 - 这就是为什么它不能用尺子和指南针完成的原因。 运动中的双弧：范围与$\operatorname{sen}2\theta$成正比。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 21, 2026 阅读
Hero Image
圆弧加减法公式

旋转向量 考虑水平和垂直单位向量。旋转$a$后，它们开始分别指向$(\cos a,\sin a)$和$(-\sin a,\cos a)$。第二个与第一个垂直，方向为正。 与 $b$ 对应的点是 $\cos b$ 乘以水平向量与 $\sin b$ 乘以垂直向量之和。旋转保留了这种分解。转动$a$后： $$\begin{aligned} (\cos(a+b),\sin(a+b)) &=\cos b(\cos a,\sin a)\\ &\quad+\sin b(-\sin a,\cos a). \end{aligned}$$演示并组合公式 比较坐标，我们得到求和公式。将 $b$ 替换为 $-b$ 并使用奇偶校验会产生差异： $$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b,$$ $$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b.$$符号选择是对应的：整个公式中的顶部符号或整个公式中的底部符号。 将正弦除以余弦，然后将分子和分母除以 $\cos a\cos b$： $$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$这种写法要求$\tan a$、$\tan b$和结果存在。特别是，分母不能为零。 将余弦除以正弦并使用 $\cot a=\cos a/\sin a$： $$\cot(a+b)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b},$$ $$\cot(a-b)=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot b-\cot a}.$$这两种形式都需要 $\sin a\sin b\ne0$ 和非零尾随分母。具有余切的表达式可以具有比直接用正弦和余弦写出的商更小的定义域。

October 20, 2026 阅读
Hero Image
补数、还原恒等式和奇偶校验

进一步缩小表格 在直角三角形中，锐角互补。与一个相对的一侧与另一侧相邻。像这样： $$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin x.$$对于$\pi/4\le x\le\pi/2$，补码$\pi/2-x$属于$[0,\pi/4]$。这样，第一象限后半部分的值就可以由前半部分的值计算出来，将正弦换成余弦。 还： $$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\cot x,$$ $$\sec\left(\frac\pi2-x\right)=\csc x,$$在各自的领域。通过交换腿的几何解释演示了锐角的关系；读取循环坐标将标识扩展到其他允许的值。 任何一圈的身份 对于每个实数 $x$，循环的对称性提供： $$\sin(\pi-x)=\sin x,\quad\cos(\pi-x)=-\cos x,$$ $$\sin(x+\pi)=-\sin x,\quad\cos(x+\pi)=-\cos x.$$删除 $2\pi$ 的倍数会减少进入第一回合的次数。这些公式可以让您在第一象限中工作而不会丢失信号。 偶函数和奇函数 偶函数或奇函数的定义域必须关于零对称。如果 $f(-x)=f(x)$，该函数为偶函数；如果 $f(-x)=-f(x)$，该函数为奇函数。 水平轴上的反射保留余弦并反转正弦。因此，余弦和正割是一对；正弦、正切、余切和余割都是奇数。断言在函数存在的地方成立。 简化的例子 使用补码和奇偶校验： $$\begin{aligned} \sin(-x)+\cos\left(\frac\pi2-x\right) &=-\sin x+\sin x=0. \end{aligned}$$这个等式不仅仅是一个显着角度的巧合：它对于每个实数 $x$ 都成立。 在日常生活中 **降噪。**耳机发出信号变化的噪声波；正弦为奇数解释了为什么这会抵消它。 表格直至 $45^\circ$。 打印的表格使用补码的正弦↔余弦交换仅带来一半的值。 **太阳和天顶。**太阳距地平线的高度和到天顶的距离是互补的：一个的正弦是另一个的余弦。 奇正弦波：符号改变的波抵消了原来的波。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 有决心的练习 **1。**如果是$\cos15°=a$，则用$a$表示$\sin75°$。 检查分辨率 1如$75°=90°-15°$、$\sin75°=\cos15°=a$。 **2。**简化$\cos(-x)-\cos x+\tan(-x)+\tan x$。 检查分辨率 2余弦宇称抵消了前两项；切线损伤抵消了其他损伤。结果是域 $\cos x\ne0$ 中的 0。

October 20, 2026 阅读