Euler's Eyes
2026-10-22
第二章练习——循环函数
响应图显示完整的周期；虚线出现时，是“参考”函数（$\operatorname{sen} x$ 或 $\cos x$）。要检查您的图表，还可以使用 $a + b\operatorname{sen}(cx + d)$ 资源管理器.
正弦函数
在练习 23 到 42 中，确定给定函数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的周期和图像，并绘制完整周期的图表。
$f(x) = -\operatorname{sen} x$.
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我们分三步建表：1st）给$x$赋值； 2nd）我们将$\operatorname{sen} x$的值关联到每个$x$； 3rd）我们将 $\operatorname{sen} x$ 乘以 $-1$。
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen} x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ |
通过此表，我们获得了图形的 5 点，它是正弦曲线相对于 $x$ 轴的对称。立即是$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$和$p(f) = 2\pi$。
$f(x) = 2 \cdot \operatorname{sen} x$.
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相同的三个步骤，现在将 $\operatorname{sen} x$ 乘以 2：
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen} x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $0$ |
对于每个 $x$，纵坐标是正弦曲线纵坐标的两倍。立即是$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$和$p(f) = 2\pi$。
$f(x) = -2 \cdot \operatorname{sen} x$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = |\operatorname{sen} x|$.
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对于实数 $a$： if $a \ge 0$, $|a| = a$;如果$a < 0$，$|a| = -a$。应用定义：
- $\operatorname{sen} x \ge 0 \Rightarrow |\operatorname{sen} x| = \operatorname{sen} x$：在这些部分中，$y = |\operatorname{sen} x|$和$y = \operatorname{sen} x$的图形重合；
- $\operatorname{sen} x < 0 \Rightarrow |\operatorname{sen} x| = -\operatorname{sen} x$：在这些部分中，图表相对于 $x$ 轴对称。
立即是$\operatorname{Im}(f) = [0, 1]$和$p(f) = \pi$。
$f(x) = |3 \cdot \operatorname{sen} x|$.
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$\operatorname{Im}(f) = [0, 3]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = \operatorname{sen} 2x$.
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分三步建表：1st）我们给$t = 2x$赋值； 2nd）我们将值$\operatorname{sen} 2x$与每个$2x$相关联； 3rd）我们计算$x = \frac{t}{2}$。
| $t = 2x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \operatorname{sen} t$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
对于每个 $x$，纵坐标是 $x$ 的 double 的正弦。要使$\operatorname{sen} t$完成一个周期，$t = 2x$必须经过$[0, 2\pi]$，即$x$必须经过$[0, \pi]$。所以$p(f) = \pi - 0 = \pi$和$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$。
$f(x) = \operatorname{sen}\dfrac{x}{2}$.
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我们做$t = \frac{x}{2}$，即$x = 2t$：
| $t = \frac{x}{2}$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \operatorname{sen} t$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | $\pi$ | $2\pi$ | $3\pi$ | $4\pi$ |
立即是$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$和$p(f) = 4\pi$。
$f(x) = \operatorname{sen} 3x$.
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对于 $t = 3x$，即 $x = \frac{t}{3}$：
| $t = 3x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ |
立即是$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$和$p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$。
$f(x) = -\operatorname{sen}\dfrac{x}{3}$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 6\pi$.
$f(x) = 3 \cdot \operatorname{sen} 4x$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-3, 3]$ e $p(f) = \dfrac{\pi}{2}$.
$f(x) = 1 + \operatorname{sen} x$.
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| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen} x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $y$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ |
对于每个$x$，纵坐标是$x$加一个单位的正弦。如果每个正弦曲线增加 1，则正弦曲线将向上平移一个单位。立即是$\operatorname{Im}(f) = [0, 2]$和$p(f) = 2\pi$。
$f(x) = -2 + \operatorname{sen} x$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-3, -1]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 1 + 2 \cdot \operatorname{sen} x$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 2 - \operatorname{sen} x$.
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$\operatorname{Im}(f) = [1, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = -1 + \operatorname{sen} 2x$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-2, 0]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = 1 + 3 \cdot \operatorname{sen}\dfrac{x}{2}$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-2, 4]$ e $p(f) = 4\pi$.
$f(x) = \operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
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对于 $t = x - \frac{\pi}{4}$，即 $x = t + \frac{\pi}{4}$：
| $t = x - \frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $\frac{7\pi}{4}$ | $\frac{9\pi}{4}$ |
要使$\operatorname{sen} t$完成一个周期，$t$必须经过$[0, 2\pi]$，即$x$必须经过$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right]$。然后
$$p(f) = \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 2\pi \qquad\text{e}\qquad \operatorname{Im}(f) = [-1, 1].$$该图是正弦曲线从 $\frac{\pi}{4}$ 向右移动。
$f(x) = \operatorname{sen}\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$和$p(f) = 2\pi$；句点从 $-\frac{\pi}{3}$ 到 $\frac{5\pi}{3}$。
$f(x) = \operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$和$p(f) = \pi$；句点从 $\frac{\pi}{6}$ 到 $\frac{7\pi}{6}$。
$f(x) = 1 + 2 \cdot \operatorname{sen}\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$和$p(f) = 4\pi$；句点从 $\frac{\pi}{3}$ 到 $\frac{13\pi}{3}$。
由于$a$、$b$、$c$、$d$是正实数，因此确定由$f(x) = a + b \cdot \operatorname{sen}(cx + d)$给出的函数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$的图像和周期。
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让我们做$cx + d = t$。当$x$经过$\mathbb{R}$时，$t$也经过$\mathbb{R}$（仿射函数$t = cx + d$是满射）。结果，$\operatorname{sen} t$遍历范围$[-1, 1]$，$b \cdot \operatorname{sen} t$遍历$[-b, b]$，$y = a + b \cdot \operatorname{sen} t$遍历$[a - b, a + b]$，即$f$的图像。
要使 $f$ 完成一个句点，$t$ 的范围必须从 $0$ 到 $2\pi$：
$$t = 0 \;\Rightarrow\; cx + d = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{d}{c} \qquad\qquad t = 2\pi \;\Rightarrow\; cx + d = 2\pi \;\Rightarrow\; x = \frac{2\pi}{c} - \frac{d}{c}$$所以
$$p = \Delta x = \left(\frac{2\pi}{c} - \frac{d}{c}\right) - \left(-\frac{d}{c}\right) = \frac{2\pi}{c}.$$构造函数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的一周期图，使得 $f(x) = 1 - 2 \cdot \operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$。
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$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$和$p(f) = \pi$；句点从 $\frac{\pi}{6}$ 到 $\frac{7\pi}{6}$。
对于$m$的什么值会有$x$例如$\operatorname{sen} x = 2m - 5$？
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为了存在满足平等的$x$，我们必须有
$$-1 \le 2m - 5 \le 1 \iff 4 \le 2m \le 6 \iff 2 \le m \le 3.$$在每种情况下，对于$m$的什么值，$x$满足等式？ a）$\operatorname{sen} x = 2 - 5m$； b) $\operatorname{sen} x = \dfrac{m - 1}{m - 2}$。
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a) $\dfrac{1}{5} \le m \le \dfrac{3}{5}$ · b) $m \le \dfrac{3}{2}$
余弦函数
在练习 47 到 56 中，确定给定函数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的周期和图像，并绘制完整周期的图表。
$f(x) = -\cos x$.
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$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 2 \cdot \cos x$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = -3 \cdot \cos x$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [-3, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = |\cos x|$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [0, 1]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = \cos 2x$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = \cos\dfrac{x}{2}$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 4\pi$.
$f(x) = 1 + \cos x$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [0, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 1 + 2 \cdot \cos 3x$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$.
$f(x) = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$和$p(f) = 2\pi$；句点从 $\frac{\pi}{4}$ 到 $\frac{9\pi}{4}$。
$f(x) = 2 \cdot \cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
查看答案
$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$和$p(f) = 2\pi$；句点从 $\frac{\pi}{3}$ 到 $\frac{7\pi}{3}$。
确定$f(x) = -1 + 2 \cdot \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$给出的函数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$的图像和周期。
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$\operatorname{Im}(f) = [-3, 1]$和$p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$；句点从 $\frac{\pi}{12}$ 到 $\frac{3\pi}{4}$。
对于$t$的哪些值，存在$x$满足等式$\cos x = \dfrac{t + 2}{2t - 1}$？
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$t \le -\dfrac{1}{3}$ 或 $t \ge 3$
确定表达式 $y = \operatorname{sen} 107^\circ + \cos 107^\circ$ 的符号。
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检查循环，我们注意到 $|\operatorname{sen} 135^\circ| = |\cos 135^\circ|$ 和
$$90^\circ < x < 135^\circ \;\Longrightarrow\; |\operatorname{sen} x| > |\cos x|,$$因为在此圆弧中，点 $P$ 距离 $u$ 轴比距离 $v$ 轴更远。
作为$\operatorname{sen} 107^\circ > 0$、$\cos 107^\circ < 0$和$|\operatorname{sen} 107^\circ| > |\cos 107^\circ|$，如下
$$\operatorname{sen} 107^\circ + \cos 107^\circ > 0.$$每个表达式的符号是什么？
$$y_1 = \operatorname{sen} 45^\circ + \cos 45^\circ \qquad y_2 = \operatorname{sen} 225^\circ + \cos 225^\circ \qquad y_3 = \operatorname{sen}\frac{7\pi}{4} + \cos\frac{7\pi}{4} \qquad y_4 = \operatorname{sen} 300^\circ + \cos 300^\circ$$Ver resposta
$y_1 > 0$, $y_2 < 0$, $y_3 = 0$, $y_4 < 0$
绘制函数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的图形，使得 $f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x$。
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对于每个 $x$，此函数关联一个 $y$，它是 $x$ 的正弦与余弦的总和。我们将正弦曲线和余弦曲线放在同一个图中，并且对于每个 $x$，我们添加每条曲线上找到的点的坐标。
稍后我们将看到 $\operatorname{Im}(f) = \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$ 和 $p(f) = 2\pi$。
绘制由 $f(x) = \cos x - \operatorname{sen} x$ 给出的函数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的一周期图。
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证明如果$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$，则$\operatorname{sen} x + \cos x > 1$。 *建议：*使用三角循环。
查看演示
令 $P$ 为 $x$ 在圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 内的图像，并令 $P_1$ 和 $P_2$ 为其在轴上的投影：$OP_2 = \cos x$ 和 $P_2P = OP_1 = \operatorname{sen} x$，均为正值。在三角形 $OP_2P$（$P_2$ 中的矩形）中，三角不等式 给出
$$OP < OP_2 + P_2P \quad\Longrightarrow\quad 1 < \cos x + \operatorname{sen} x.$$该不等式是严格的，因为 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时 $O$、$P_2$ 和 $P$ 未对齐。
正切函数
使得 $f(x) = \operatorname{tg} 2x$ 存在的实函数 $f$ 的定义域是什么？
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让我们做$2x = t$。当且仅当 $t \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) 时，存在 $\operatorname{tg} t$。然后
$$2x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \;\Longrightarrow\; x \ne \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2} \qquad\text{e}\qquad D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}.$$实函数的定义域是什么：a) $f(x) = \operatorname{tg} 3x$； b) $g(x) = \operatorname{tg}\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$？
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a) $D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{6} + k\,\dfrac{\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$ · b) $D(g) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$
每个表达式的符号是什么？
$$y_1 = \operatorname{tg} 269^\circ + \operatorname{sen} 178^\circ \qquad\qquad y_2 = \operatorname{tg}\frac{12\pi}{7} \cdot \left(\operatorname{sen}\frac{5\pi}{11} + \cos\frac{23\pi}{12}\right)$$Ver resposta
$y_1 > 0$ e $y_2 < 0$
对于$\alpha$的什么值会有$x$例如$\operatorname{tg} x = \sqrt{\alpha^2 - 5\alpha + 4}$？
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$\alpha \le 1$ 或 $\alpha \ge 4$
画出图形并给出实函数 $f(x) = \operatorname{tg}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的域和周期。
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让我们做$x - \frac{\pi}{4} = t$。我们有：
$$\exists\, \operatorname{tg} t \;\Rightarrow\; t \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \;\Rightarrow\; x - \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, \qquad\text{então}\qquad D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{3\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}.$$为了 $\operatorname{tg} t$ 描述一个完整的周期，我们必须有
$$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} \iff -\frac{\pi}{2} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \iff -\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4},$$然后$p(f) = \dfrac{3\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \pi$。
由于该函数将值 $\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ 与每个 $x$ 相关联，因此该图形（与已经看到的函数类比）是切线从 $\frac{\pi}{4}$ 向右移动。
画出图形并给出实函数 $f(x) = \operatorname{tg}\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 的域和周期。
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$D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$和$p(f) = \dfrac{\pi}{2}$；分支从 $-\frac{\pi}{3}$ 到 $\frac{\pi}{6}$，并在 $-\frac{\pi}{12}$ 处切割 $x$ 轴。
余切、正割和余割
确定实函数的域和周期
$$f(x) = \operatorname{cotg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right), \qquad g(x) = \sec 2x, \qquad h(x) = \operatorname{cossec}\left(x + \frac{\pi}{4}\right).$$Ver resposta
$D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{3} + k\pi\right\}$, $D(g) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\right\}$, $D(h) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$ ($k \in \mathbb{Z}$); $p(f) = \pi$, $p(g) = \pi$, $p(h) = 2\pi$
在每种情况下，确定 $m$ 必须属于的集合，以使 $x$ 满足等式：
a) $\operatorname{cotg} x = \sqrt{2 - m}$; b) $\sec x = 3m - 2$; c) $\operatorname{cossec} x = \dfrac{2m - 1}{1 - 3m}$.
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a) $m \le 2$ · b) $m \le \dfrac{1}{3}$ 或 $m \ge 1$ · c) $0 \le m < \dfrac{1}{3}$ 或 $\dfrac{1}{3} < m \le \dfrac{2}{5}$
确定表达式的符号
$$y_1 = \cos 91^\circ + \operatorname{cossec} 91^\circ \qquad y_2 = \operatorname{sen} 107^\circ + \sec 107^\circ \qquad y_3 = \sec\frac{9\pi}{8} \cdot \left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{6} + \operatorname{cotg}\frac{\pi}{7}\right)$$Ver resposta
$y_1 > 0$, $y_2 < 0$, $y_3 < 0$