如果正弦是旋转点的高度，则余弦是其距中心的水平距离。两者相辅相成：当一个达到最大值时，另一个为零。

故事

几个世纪以来，余弦没有自己的名称：它只是“补码的正弦”。 Viète 将其称为sinus residuae，每个作者的写法都不同。在 1620 中，英国人Edmund Gunter在他的卡农三角中提出了缩写形式co-sinus - 以及与之相伴的co-tangens。四年后，Gunter 成为第一个在数字中使用缩写 sin 的人；这些名称被固定下来，前缀 co- 成为所有“补充”功能的品牌。

冈特链：有了它，英亩（英国测量员的面积单位）就变成了精确的 10 方形链。

来源： Gunter (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。

在日常生活中

  • **太阳能电池板。**电池板接收到的能量与太阳光线与电池板垂线之间夹角的余弦成正比：当光线与垂直线相距 $60^\circ$ 时，它接收到的能量是从正面接收到的能量的一半。
  • 发动机。 在连杆和曲柄机构中，活塞位置大约遵循 $r\cos\theta$，其中 $\theta$ 是曲轴旋转。
  • 坡道。 长度为 $L$ 且倾斜度为 $\alpha$ 的坡道占据地板上的水平长度 $L\cos\alpha$ — 这是项目需要预留的空间。
太阳能电池板接收的能量与光线与电池板垂线之间夹角的余弦成正比。

理论

定义

Definição余弦和余弦函数

给定一个实数 $x$， 这是 $P$ 您在循环中的形象。这 的余弦 $x$ （我们表明 $\cos x$) 是 横坐标 $\overline{OP_2}$ 从点 $P$ 与系统相关 $uOv$.

余弦函数是将每个实数$x$与实数$\overline{OP_2} = \cos x$（即$f(x) = \cos x$）关联起来的函数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$。

拖动$P$：余弦轴上的线段$\overline{OP_2}$为$\cos x$。更改为正弦并进行比较。

特性

Propriedade余弦函数的性质

  1. 对于所有实数$x$，余弦函数的范围为$[-1, 1]$:$\;-1 \le \cos x \le 1$。
  2. 如果 $x$ 来自第一或第四象限，则 $\cos x$ 为正。
  3. 如果 $x$ 来自第二或第三象限，则 $\cos x$ 为负。
  4. 如果 $x$ 穿过第三或第四象限，则 $\cos x$ 增加。
  5. 如果 $x$ 通过第一或第二象限，则 $\cos x$ 递减。
  6. 余弦函数是周期性，其周期为$2\pi$。
查看演示

这些与用于正弦的想法相同，现在看看 $P$ 的横坐标。

**1。**半径循环1的一点的横坐标范围为$-1$到$1$。

2和3。在第一和第四象限中，$P$位于$v$轴的右侧，横坐标为正；在第二个和第三个中，它位于左侧并且横坐标为负。

**4和5。**当$x$经过第一象限时，$P$从$A$到$B$，横坐标从1减小到0；第二个，从$B$到$A'$，从0减少到$-1$。第三次，$P$从$A'$到$B'$，横坐标从$-1$到0；第四个，从$B'$到$A$，从0增长到1。

6。 $x$ 和 $x + 2k\pi$ 具有相同的图像 $P$，因此 $\cos x = \cos(x + 2k\pi)$ 对于所有 $x$ 和所有 $k \in \mathbb{Z}$。 $2k\pi$ 的最小正值是 $2\pi$。

图：余弦

当$x$经过$[0, 2\pi]$且$P$逆时针转一整圈时，$P$横坐标变化如下：

$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\cos x$ $1$ 减少 $0$ 减少 $-1$ 成长 $0$ 成长 $1$

$f(x) = \cos x$ 的图形称为 余弦曲线：

余弦。突出显示的矩形尺寸为 $2\pi \times 2$，包含一个句点。
余弦为循环点的横坐标；图表记录了每个 $x$ 的该值。与正弦曲线比较：余弦曲线是从$\frac{\pi}{2}$向左移动的正弦曲线。

由于定义域为 $\mathbb{R}$，因此余弦继续到 $2\pi$ 的右侧和 $0$ 的左侧。