最后三个循环函数完成了图片。余切值在与 $B$ 处的循环相接触的水平轴上读取；当我们在 $P$ 中绘制圆的切线并查看它与轴相交的位置时，就会出现正割和余割。

故事

名称“secant”和“tangent”来自圆的几何形状：切线接触圆周（tangere，接触）和割线切割（secare，切割）。在定义图中，线段$\overline{OS}$位于一条直线上，该直线在延伸时与周期相切，线段$\overline{AT}$位于$A$处的切线上。这些部分已经由阿拉伯天文学家制成表格：Abu al-Wafa 在 10 世纪，组织了六个函数，并展示了每个函数如何从其他函数派生出来。

Abu al-Wafa (940–998)，后来的艺术表现。
Abu al-Wafa (940–998)，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域

来源： Abu al-Wafa (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。

在日常生活中

  • 屋顶（割线）。 横跨屋顶宽度 $d$ 一半、坡度为 $\alpha$ 的椽子尺寸为 $d\sec\alpha$；木匠为此目的砍伐木材。
  • 坡道（余割）。 要以倾斜度 $\alpha$ 爬升高度 $h$，坡道尺寸为 $h\operatorname{cossec}\alpha$。对于巴西无障碍标准的最大坡度（8,33%、$\alpha \approx 4{,}76^\circ$），达到 50 厘米需要大约 6 米的坡道。
  • 阴影（余切）。 一根高度为 $h$ 的棍子，太阳的角度高度为 $\alpha$，会投射出 $h\operatorname{cotg}\alpha$ 的阴影——这就是日晷的原理。
坡道的长度是高度乘以坡度的余割值。测试可访问性标准的 8,33% 限制。

理论

余切函数

Definição余切和余切函数

给定一个实数$x$，与$x \ne k\pi$，令$P$为其在循环中的图像。考虑直线 $\overleftrightarrow{OP}$ 并令 $D$ 为其与余切轴的交点。 $x$ 的余切值（我们表示为$\operatorname{cotg} x$）是线段$\overline{BD}$ 的代数测度。

余切函数 是将实数 $\overline{BD} = \operatorname{cotg} x$ 与每个实数 $x \ne k\pi$ 相关联的函数 $f\colon D \to \mathbb{R}$。

对于$x = k\pi$，点$P$位于$A$或$A'$中，线$\overleftrightarrow{OP}$平行于余切轴：没有$D$，并且未定义$\operatorname{cotg} x$。

拖动 $P$。直线$OP$在$D$处与余切轴（水平，过$B$）相交； $\overline{BD} = \operatorname{cotg} x$。

Propriedade余切函数的性质

  1. 域是$D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne k\pi\}$。
  2. 图像是 $\mathbb{R}$：对于每个实数 $y$，都有实数 $x$ 和 $\operatorname{cotg} x = y$。
  3. 如果 $x$ 来自第一或第三象限，则 $\operatorname{cotg} x$ 为正。
  4. 如果 $x$ 来自第二或第四象限，则 $\operatorname{cotg} x$ 为负。
  5. 如果 $x$ 通过四个象限中的任何一个，$\operatorname{cotg} x$ 就会减少。
  6. 余切函数是周期函数，其周期为$\pi$。
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2。 给定 $y$，在余切轴上用 $\overline{BD} = y$ 标记点 $D$；直线$\overleftrightarrow{OD}$在两点处切割圆，实像的余切为$y$。

3和4。在第一象限和第三象限中，直线$OP$与$d$轴到$B$($\overline{BD} > 0$)右侧相交；在第二个和第四个，左侧 ($\overline{BD} < 0$)。

5。 在第一象限中，当$x$从$0$增加到$\frac{\pi}{2}$时，直线$OP$变得越来越“直立”，并且点$D$从右侧接近$B$：$\overline{BD}$减小（从$+\infty$到0）。在直角三角形$OBD$中，边$OB = 1$固定，当角$B\hat OD$减小时，边$BD$减小，该角是$x$的补角。其他象限类似。

6。$x$和$x + k\pi$有重合或截然相反的图像，确定同一直线$OP$和同一点$D$。因此$\operatorname{cotg}(x + k\pi) = \operatorname{cotg} x$，$k\pi$的最小正值是$\pi$。

余切图。渐近线是线 $x = k\pi$。

烘干功能

Definição割线和正割函数

给定一个实数$x$，与$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，令$P$为其在循环中的图像。考虑直线 $s$ 与 $P$ 中的循环相切，并令 $S$ 为其与余弦轴的交点。 $x$ 的割线（我们表示为$\sec x$）是点$S$ 的横坐标 $\overline{OS}$。

割线函数是将实数 $\overline{OS} = \sec x$ 与每个实数 $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 相关联的函数 $f\colon D \to \mathbb{R}$。

对于$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，点$P$位于$B$或$B'$中，线$s$平行于余弦轴，$\sec x$未定义。

拖动 $P$。 $P$处的循环切线与$S$($\overline{OS} = \sec x$)处的余弦轴和$C$($\overline{OC} = \operatorname{cossec} x$)处的正弦轴相切。

Propriedade正割函数的性质

  1. 域是$D = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$。
  2. 图像为 $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$：对于每个 $y$ 和 $y \le -1$ 或 $y \ge 1$，都有 $x$ 和 $\sec x = y$。
  3. 如果 $x$ 来自第一或第四象限，则 $\sec x$ 为正。
  4. 如果 $x$ 来自第二或第三象限，则 $\sec x$ 为负。
  5. 如果 $x$ 穿过第一或第二象限，则 $\sec x$ 增加。
  6. 如果 $x$ 通过第三或第四象限，则 $\sec x$ 递减。
  7. 正割函数是周期函数，其周期为$2\pi$。
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关键是三角形 $OPS$：它是 位于 $P$ 的矩形（半径垂直于切线）并且有一条边 $OP = 1$。如果角度$P\hat OS$测量为$\theta$，则为$\cos\theta = \dfrac{OP}{OS} = \dfrac{1}{OS}$，即$|\overline{OS}| = \dfrac{1}{|\cos x|}$； $S$与$P$在$u$轴上的投影位于$O$的同一侧。所以

$$\sec x = \frac{1}{\cos x}.$$

2。 作为 $0 < |\cos x| \le 1$，我们有 $|\sec x| \ge 1$。反之，如果$|y| \ge 1$，则$\frac{1}{y} \in [-1, 1]$，并且有$x$和$\cos x = \frac{1}{y}$，即$\sec x = y$。

3 和 4。 $\sec x$ 的符号为 $\cos x$：第一和第四象限为正，第二和第三象限为负。

**5和6。**在第一象限，$\cos x$减小且为正，因此$\frac{1}{\cos x}$增大；在第二个中，$\cos x$减少并且为负，因此相反的值也增加（从$-\infty$到$-1$）。在第3个和第4个中，$\cos x$增加，相反减少。

7。 $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ 意味着 $\sec(x + 2k\pi) = \sec x$；最小的正周期是 $2\pi$，因为 $\sec 0 = 1$ 仅在整转后重复。

割线图。弧线高于$y = 1$或低于$y = -1$；渐近线是$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$。

余割函数

Definição余割和余割函数

给定一个实数 $x$， 和 $x \ne k\pi$， 这是 $P$ 您在循环中的形象。考虑线路 $s$ 与循环相切 $P$ 并成为 $C$ 它与正弦轴的交点。这 的余割 $x$ （我们表明 $\operatorname{cossec} x$) 是 已订购 $\overline{OC}$ 从点 $C$.

余割函数是将实数 $\overline{OC} = \operatorname{cossec} x$ 与每个实数 $x \ne k\pi$ 相关联的函数 $f\colon D \to \mathbb{R}$。

对于$x = k\pi$，点$P$位于$A$或$A'$中，线$s$平行于正弦轴，$\operatorname{cossec} x$未定义。

Propriedade余割函数的性质

  1. 域是$D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne k\pi\}$。
  2. 图像是$\mathbb{R} - \,]-1, 1[$。
  3. 如果 $x$ 来自第一或第二象限，则 $\operatorname{cossec} x$ 为正。
  4. 如果 $x$ 来自第三或第四象限，则 $\operatorname{cossec} x$ 为负。
  5. 如果 $x$ 穿过第二或第三象限，则 $\operatorname{cossec} x$ 增加。
  6. 如果 $x$ 通过第一或第四象限，则 $\operatorname{cossec} x$ 递减。
  7. 余割函数是周期性的，其周期为$2\pi$。
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在三角形$OPC$中，$P$与$OP = 1$组成的矩形，角$P\hat OC$是$OP$与轴$u$所成角的补角，同理可得

$$\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}.$$

所有属性都来自于正弦的属性：$|\operatorname{sen} x| \le 1$ 给出 $|\operatorname{cossec} x| \ge 1$；符号是正弦值（第一和第二象限为正）；当正弦增加同时保持符号不变（第一和第四象限）时，倒数减少；当正弦减少（第二和第三象限）时，倒数增加；周期是正弦的周期，$2\pi$。

余割图；突出显示的范围从 $0$ 到 $2\pi$ 是一个完整的句点。渐近线是 $x = k\pi$。

Resumo六个循环函数

功能 领域 图像 时期 象限内为正值
$\operatorname{sen}$ $\mathbb{R}$ $[-1, 1]$ $2\pi$ 1º e 2º
$\cos$ $\mathbb{R}$ $[-1, 1]$ $2\pi$ 1º e 4º
$\operatorname{tg}$ $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ $\mathbb{R}$ $\pi$ 1º e 3º
$\operatorname{cotg}$ $x \ne k\pi$ $\mathbb{R}$ $\pi$ 1º e 3º
$\sec$ $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$ $2\pi$ 1º e 4º
$\operatorname{cossec}$ $x \ne k\pi$ $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$ $2\pi$ 1º e 2º