将和转化为乘积，将乘积转化为和

将两个已知公式相加

写出 $\sin(a+b)$ 和 $\sin(a-b)$ 的公式。将它们加在一起，带有 $\cos a\sin b$ 的项相互抵消：

$$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.$$

现在执行 $u=a+b$ 和 $v=a-b$。然后是$a=(u+v)/2$和$b=(u-v)/2$。这产生了下面的第一个恒等式；其他情况来自加或减正弦和余弦公式：

$$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$

$$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$

这些恒等式对于所有实数 $u,v$ 都有效。在后一种情况下，负号是必不可少的。

重新排列相同的公式：

$$2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b),$$

$$2\cos a\sin b=\sin(a+b)-\sin(a-b),$$

$$2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b),$$

$$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b).$$

一种产品对于找零可能更有用；总和对于将各项组合在一起或计算精确值可能更有用。

在 $\sin3x+\sin x=0$ 处，变换给出：

$$2\sin2x\cos x=0.$$

因此 $\sin2x=0$ 或 $\cos x=0$。第一个系列是 $x=k\pi/2$，第二个系列是 $x=\pi/2+k\pi$。后者已经包含在第一个中。所有解的集合是$\{k\pi/2:k\in\mathbb Z\}$。

$$\sin75°+\sin15°=2\sin45°\cos30°=\frac{\sqrt6}{2}.$$

不需要小数近似。角度的平均值决定一个因素，而差异的一半决定另一个因素。

乘积中的正弦和：音乐家用来调音的节拍。

1。将 $\cos5x-\cos x$ 转换为产品。

检查分辨率 1

$\cos5x-\cos x=-2\sin3x\sin2x$.

**2。**计算$2\sin75°\sin15°$。

检查分辨率 2

转化为和，为$\cos60°-\cos90°=1/2$。

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。