什么数据决定三角形？

解三角形就是从足够的数据中获取它的边和角。始终使用约定：$a,b,c$ 与 $A,B,C$ 相对。非退化三角形的正边和角度在 0 和 $\pi$ 之间。

一侧和两个角

已知$a,B,C$，计算$A=\pi-B-C$。 $B+C<\pi$ 为必填项。正弦定理给出：

$$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$

数据确定三角形、减去位置和反射。

两条边以及它们之间的角度

已知 $b,c,A$，使用 $0 $$a=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos A}.$$

然后根据余弦定理求出例如$B$并得到$C=\pi-A-B$。对角度使用反余弦可以避免在同一正弦的两个角度之间进行选择。

三边

首先检查$a $$A=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$$

具有 B 和 C 的类似公式。例如，边 3、4 和 5 确定与边 5 相对的直角。

两条边和一个角不明白

已知 $a,b,A$，正弦定理要求：

$$\sin B=q,\qquad q=\frac{b\sin A}{a}.$$

如果$q>1$，则无解。如果 $q=1$，则唯一的候选者是 $B=\pi/2$。如果 $0 $$B_1=\arcsin q,\qquad B_2=\pi-B_1.$$

每个候选人仅在 $A+B_i<\pi$ 时才被接受。对于每个接受的，$C_i=\pi-A-B_i$ 和 $c_i=a\sin C_i/\sin A$。正第三角滤镜是必不可少的。

完整的几何分类

对于$0

数据 三角形数量
$a 0
$a=h$ 1，与 $B=\pi/2$
$h 2
$a\ge b$ 1

如果$\pi/2\le A<\pi$，$a>b$时有解，$a\le b$时无解。直角或钝角的对面必须是给定的两条边中较大的一条。

一个案例有两个答案

对于 $A=30°$、$a=5$ 和 $b=8$，我们有 $h=4<5<8$。该方程给出$\sin B=4/5$。候选者大约是$53{,}13°$和$126{,}87°$；两者加起来 $A$ 小于 $180°$。

第三角度大约为$96{,}87°$和$23{,}13°$。有两个不同的三角形满足数据。仅返回主反正弦的计算器本身并不能解决整个讨论。

在日常生活中

  • 河流的宽度。 一侧河岸上的底座和两个角度足以确定到另一侧河岸的距离。
  • **航空。**相对于地面的速度和侧风中飞机航线的偏差来自三角形的分辨率。
  • 不止一个答案。 模棱两可的情况出现在取证和导航中：两条边和一个角度不被理解，可能有两个可能的位置，需要再次测量才能决定。
一条边和两个角就足够了：一条河的宽度，无需跨越它。

有决心的练习

1. 如果$A=30°$、$a=4$和$b=10$，是否存在三角形？

检查分辨率 1

否。需要 $\sin B=10\cdot(1/2)/4=5/4>1$。

**2。**如果$A=120°$、$a=10$和$b=6$，有多少个三角形？

检查分辨率 2

一，因为 A 是钝角且 $a>b$。经计算，$q=3\sqrt3/10$；只剩下 $B_1=\arcsin q$ 和 $C>0$。

在互动书中

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。

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