反正弦、反余弦和反正切

为什么需要限制？

逆运算需要从输出中检索单个输入。正弦、余弦和正切重复值。为了定义逆，我们选择每个函数一对一并达到其整个所需图像的区间。

在这些区间中，正弦和正切严格递增，余弦严格递减。每个输出仅出现一次；因此，逆矩阵是明确定义的。

$$y=\arcsin t\iff\sin y=t,\quad-\frac\pi2\le y\le\frac\pi2,$$

$$y=\arccos t\iff\cos y=t,\quad0\le y\le\pi,$$

$$y=\arctan t\iff\tan y=t,\quad-\frac\pi2反正弦和反余弦具有域 $[-1,1]$。反正切的定义域为 $\mathbb R$。它的图形是原始受限分支相对于线 $y=x$ 的反映。

对于 $t\in[-1,1]$、$\sin(\arcsin t)=t$。但只有当$x$在主范围内时才保证$\arcsin(\sin x)=x$。例如：

$$\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) =\arcsin\frac12=\frac\pi6.$$

值 $5\pi/6$ 具有相同的正弦值，但超出了反正弦的主要范围。反函数给出了主要答案；三角方程可以有无限个答案。

如果 $y=\arcsin t$，则 $y\in[-\pi/2,\pi/2]$ 和 $\pi/2-y\in[0,\pi]$。与$\cos(\pi/2-y)=\sin y=t$一样，反余弦的定义给出：

$$\arcsin t+\arccos t=\frac\pi2,\qquad -1\le t\le1.$$

符号 $\arcsin t$ 表示受限函数的反函数，而不是倒数 $1/\sin t$。正弦的倒数是余割。

坡道和街道。 根据坡度百分比，获取角度：20% 对应于 $\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$。
梯子。 当脚分开 1/4 长度时，与地板的角度为 $\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$。
**传感器。**手机和无人机使用反正切值根据传感器测量结果计算倾斜角度。

基于安全规则的楼梯角度，带有反余弦。

**1。**计算$\arccos(-\sqrt2/2)$和$\arctan(-\sqrt3)$。

检查分辨率 1

反余弦返回$3\pi/4$；切线弧返回 $-\pi/3$，尊重各自的主图像。

2. $f(x)=\arcsin(2x-1)$ 的真实域是什么？

检查分辨率 2

$-1\le2x-1\le1$ 为必填项。添加1并除以2、$0\le x\le1$。

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。