Euler's Eyes
2026-10-21
高度、Heron、中位数、角平分线 和半径
从侧面获取特殊测量值
考虑边数 $a,b,c$、面积 $K$ 和半周长 $s=(a+b+c)/2$。我们需要一个非退化三角形：正边且每条边都小于其他两条边的总和。
演示海伦公式
根据余弦定律，$\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$。在$K=bc\sin A/2$中，使用$\sin^2A=1-\cos^2A$：
$$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$面积为正，因此：
$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$高地
作为$K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$：
$$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$代入 Heron 表达式，得出每个高度仅是边的函数。 $h_a=b\sin C=c\sin B$ 及其排列也是有效的。
中位数
中线 $m_a$ 将 A 连接到 BC 的中点。将基端放置在 $(-a/2,0)$ 和 $(a/2,0)$ 处，将 A 放置在 $(u,v)$ 处。将端点距离的平方相加得出：
$$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+\frac{a^2}{2}.$$作为 $m_a^2=u^2+v^2$，其结果是：
$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$交换索引得到 $m_b$ 和 $m_c$。
角平分线 内部
A 的 角平分线 在 D 中与 BC 相交，并将角度分成两等份。 ABD 和 ACD 的面积比率为 $c:b$，因为它们相对于直线 BC 具有相同的高度，也可以通过 $A/2$ 的正弦来计算。标识：
$$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$角平分线$t_a=AD$各边计算的面积之和为：
$$K=\frac{(b+c)t_a\sin(A/2)}{2}.$$与$K=bc\sin A/2$和使用$\sin A=2\sin(A/2)\cos(A/2)$进行比较：
$$t_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c} =\frac{2\sqrt{bc\,s(s-a)}}{b+c}.$$第二种形式来自$\cos^2(A/2)=s(s-a)/(bc)$，由余弦定律获得。所有的根都是正的。交换字母即可得到其余的 角平分线。
内切圆和外接圆
内心 是每边的距离 $r$。将三角形分成以该中心为顶点的三个三角形：
$$K=\frac{ar+br+cr}{2}=sr.$$像这样：
$$r=\frac Ks=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}s}.$$从顶点到两个接触点绘制的切线具有相等的长度。与顶点 A 相关的部分的尺寸为 $s-a$。在内心构成的直角三角形中：
$$r=(s-a)\tan\frac A2.$$使用上一课的正弦定理和面积表达式：
$$R=\frac{abc}{4K}.$$示例：边 5、5 和 6
我们有 $s=8$ 和 $K=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$。对于基数 $a=6$，带有 $b=c=5$：
$$h_a=4,\quad m_a=4,\quad t_a=4,\quad r=\frac32,\quad R=\frac{25}{8}.$$高度、中位数和 角平分线 在此方向上重合，因为三角形是等腰三角形。一般来说，它们是不同的部分。
在日常生活中
- 有卷尺的面积。 仅测量一块土地的侧面（13、14 和 15 米），Heron 公式得出 84 平方米。
- 花园里的喷泉。 适合三角形花坛的最大圆形喷泉的半径是内切半径 $r = \frac{S}{p}$。
- 平衡。 一块厚度均匀的三角形板在铅笔尖上的 重心 处保持平衡，即中线的交点。
有决心的练习
1。 三角形的边长为 13、14 和 15 厘米。计算面积和内切半径。
检查分辨率 1
$s=21$ 厘米和 $K=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$ 平方厘米。然后 $r=84/21=4$ 厘米。
2. 在同一条边上，计算相对于 14 厘米边的高度和中位数。
检查分辨率 2
$h=2\cdot84/14=12$ 厘米。中位数为 $m=\tfrac12\sqrt{2\cdot13^2+2\cdot15^2-14^2}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$ 厘米。
在互动书中
交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：
本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。