方程 $\operatorname{sen} x = \frac{1}{3}$ 有无穷多个解，但没有一个是值得注意的弧。解决方案怎么写？我们需要一个“正弦为 $\frac{1}{3}$ 的弧”的名称。问题是这样的弧有无数个；因此名称指定 a 数字，我们选择一个正弦不重复的区间。此选择定义了逆循环函数。

故事

符号 $\operatorname{arc\,sen} x$ —“正弦为 $x$ 的弧” — 由 丹尼尔·伯努利 在 1729 中使用，并由奥地利数学家 约瑟夫·谢弗 在 1772 中使用，并受到 拉格朗日 和其他数学家的关注。 18世纪末的作家。计算器中常见的符号$\operatorname{sen}^{-1} x$是由英国天文学家John Herschel在1813中通过类比函数的逆函数提出的；它的缺点是容易与$\frac{1}{\operatorname{sen} x}$混淆，这就是本书中我们使用$\operatorname{arc\,sen}$的原因。

  1. 1729
    丹尼尔·伯努利写道“A S”。对于正弦给定的弧。
  2. 1772
    Joseph Scherffer 使用arc。罪恶。
  3. 世纪末。十八
    拉格朗日等人传播了反正弦。
  4. 1813
    John Herschel 提议 $\sin^{-1} x$。
  5. 今天
    计算器使用$\sin^{-1}$；巴西书籍，$\operatorname{arc\,sen}$。

来源： John Herschel (MacTutor) · F. Cajori，数学符号史，卷。 II (1929)，§§ 532–535 · 函数符号的最早使用 (Jeff Miller)。

在日常生活中

  • 陡峭的街道。 坡度为 20% 的街道水平方向每 100 米升高 20 米；角度为 $\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$。
  • **梯子。**安全规则要求将梯子的底部 1/4 移离墙壁；与地板的角度为 $\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$。
  • **手机作为水平仪。**加速度计测量落在设备每个轴上的重力，水平仪应用程序计算与切线弧的倾斜度。
从安全规则（距腿长度 1/4）到角度：$\operatorname{arc\,cos}\frac14 \approx 75{,}5^\circ$。使用按钮。

理论

一个函数只有双射时才具有反函数。从 $\mathbb{R}$ 到 $[-1, 1]$ 的正弦是满射的，但不是单射的（每个值都会无限次达到）。通过将定义域限制在其递增或递减的区间内，我们获得了双射——然后我们可以将其反转。

反正弦函数

函数 $f\colon \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$、$f(x) = \operatorname{sen} x$ 是双射的：它在此区间（第一和第四象限）内递增，并取从 $-1$ 到 $1$ 的所有值。

Definição反正弦

此限制的反函数是函数反正弦，$\operatorname{arc\,sen}\colon [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$：

$$y = \operatorname{arc\,sen} x \iff \operatorname{sen} y = x \;\;\text{e}\;\; -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}.$$

与每个函数及其反函数一样，$\operatorname{sen}$（受限）和 $\operatorname{arc\,sen}$ 的图形关于直线 $y = x$ 对称。

$\operatorname{sen} x$ 转换为 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$（蓝色），$\operatorname{arc\,sen} x$ 转换为 $[-1, 1]$（红色）和 角平分线 $y = x$（虚线）。

反余弦函数

余弦在 $[0, \pi]$（第一和第二象限）递减，并且呈现从 $1$ 到 $-1$ 的所有值；因此 $f\colon [0, \pi] \to [-1, 1]$、$f(x) = \cos x$ 是双射的。

Definição反余弦

$\operatorname{arc\,cos}\colon [-1, 1] \to [0, \pi]$:

$$y = \operatorname{arc\,cos} x \iff \cos y = x \;\;\text{e}\;\; 0 \le y \le \pi.$$
$\operatorname{arc\,cos} x$：降序，从$\pi$（$x = -1$中）到$0$（$x = 1$中），经过$x = 0$中的$\frac{\pi}{2}$。

Propriedade两种关系

$$\operatorname{arc\,sen} x + \operatorname{arc\,cos} x = \frac{\pi}{2}$$$$\operatorname{arc\,cos}(-x) = \pi - \operatorname{arc\,cos} x \qquad (-1 \le x \le 1)$$
查看演示

I) 让 $y = \operatorname{arc\,sen} x$: $\operatorname{sen} y = x$ 和 $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$。然后$\cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right) = \operatorname{sen} y = x$和$0 \le \frac{\pi}{2} - y \le \pi$；根据定义，$\frac{\pi}{2} - y = \operatorname{arc\,cos} x$。

II) 让$y = \operatorname{arc\,cos} x$：$\cos(\pi - y) = -\cos y = -x$和$0 \le \pi - y \le \pi$；标志 $\pi - y = \operatorname{arc\,cos}(-x)$。

反正切函数

正切在 $\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ 处增加，并假定那里的所有实值；因此 $f\colon \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \to \mathbb{R}$、$f(x) = \operatorname{tg} x$ 是双射的。

Definição反正切

$\operatorname{arc\,tg}\colon \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$:

$$y = \operatorname{arc\,tg} x \iff \operatorname{tg} y = x \;\;\text{e}\;\; -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.$$
$\operatorname{arc\,tg} x$ 在整个 $\mathbb{R}$ 中定义，并接近直线 $y = \pm\frac{\pi}{2}$（虚线），但从未接触过它们。

Atençãoarc sin (sin x) 并不总是 x

$\operatorname{sen}(\operatorname{arc\,sen} x) = x$ 至所有 $x \in [-1, 1]$。但只有当$x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$时才$\operatorname{arc\,sen}(\operatorname{sen} x) = x$：例如$\operatorname{arc\,sen}(\operatorname{sen}\pi) = \operatorname{arc\,sen} 0 = 0 \ne \pi$。

Exemplo求解 sin x = 1/3

利用反正弦，我们可以写出解：$x = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} + 2k\pi$ 或 $x = \pi - \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{3} + 2k\pi$。

本节中的练习是[章节列表]中的编号246到270（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap07-equacoes/04-exercicios/).