对于余弦，辅助线是垂直：$\cos x > m$ 的解在其右侧，$\cos x < m$ 的解在其左侧。

故事

我们在本书中使用的区间表示法，用“转”括号表示排除的极值 - $\left]a, b\right[$ - 是法国传统；它是由 Nicolas Bourbaki 团体在 20 世纪传播的，该团体是法国数学家的集体笔名，他们在一系列书籍中重写了数学基础。在英语国家，带括号的表示法 $(a, b)$ 更为常见。

来源： 布尔巴基 (MacTutor) · 集合论和逻辑符号的最早使用 (Jeff Miller)。

在日常生活中

  • 相机和游戏。 当一个点与相机轴之间的角度 $\theta$ 满足 $\cos\theta > \cos\beta$ 时，该点位于光圈 $2\beta$ 的相机的视野中；游戏正是使用此测试来确定一个角色是否“看到”另一个角色。
  • 定向天线。 当相对于其方向的偏差 $\theta$ 为 $\cos\theta > 0{,}9$（即 $\theta < 25{,}8^\circ$）时，定向 Wi-Fi 天线会提供良好的信号。
  • 照明。 当光线到达 $\cos\theta > \frac{1}{2}$（即距垂直方向小于 $60^\circ$）时，墙壁就被灯照亮了。
当$\cos\theta > \cos\beta$时物体出现在图像中：相机和游戏一直进行此测试。

理论

cos x > m 的分辨率

Resumo路线图

  1. 在余弦轴上标记点 $P_2$，使得 $\overline{OP_2} = m$ 并通过 $P_2$ 绘制垂直于该轴的直线 $r$。
  2. 实数 $x$ 的图像使得 $\cos x > m$ 位于圆与 $r$ 右侧的半平面 的交点处。
  3. 描述适当的范围，从 $A$ 开始。

Exemplo余弦 x > √3/2

$u = \frac{\sqrt{3}}{2}$线切割$\frac{\pi}{6}$和$\frac{11\pi}{6}$图像中的循环；右侧的圆弧包含$A$：

Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

$$2k\pi \le x < \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad \frac{11\pi}{6} + 2k\pi < x < 2\pi + 2k\pi.$$

cos x < m 的分辨率

Resumo路线图

  1. 用 $\overline{OP_2} = m$ 标记 $P_2$，并绘制垂直于余弦轴的线 $r$。
  2. 实数 $x$ 的图像使得 $\cos x < m$ 位于圆与 $r$ 左侧的半平面的交点处。
  3. 描述适当的间隔。

Exemplocos x < −1/2

Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

$$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{4\pi}{3} + 2k\pi.$$

由于圆弧不经过$A$，因此有一个间隔就足够了。

乘积不等式和商不等式

当不等式涉及表达式的乘积或商时，我们将函数替换为辅助变量（例如$\cos x = y$），我们研究符号图表中每个因子的符号，直到最后才返回循环。

Exemplo余弦 2x / 余弦 x ≥ 0

对于 $y = \cos x$：$\dfrac{2y^2 - 1}{y} \ge 0$。分子在$\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$处改变符号，分母在$0$处改变符号；信号图显示商为$\ge 0$至$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le y < 0$或$y \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$。 $\cos x$ 上的每个条件都在上述循环中解决。完整的解决方案在练习 304 中。

本节中的练习是[章节列表]中的编号286到310（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap08-inequacoes/04-exercicios/).