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円弧、弦、光線、角度

図面から始めます 円上の別の点 A と B をマークします。それを 2 つの円弧 に分割し、どちらも A と B を含みます。弦 AB は点間の直線部分です。円弧はセグメントではありません。 両端が一致する場合、点まで縮小されたヌル円弧と、全周をカバーするターンの円弧が区別されます。この区別は、最終的な位置と実行されたターンを比較するときに重要になります。 角度とは何ですか? セミストレートは原点があり、一方向に無限に進みます。原点 O を持つ 2 本の光線は、平面の 2 つの角度領域を決定します。最小の絞りを使用するときは、これを示す必要があります。反対側の開口部も存在します。 光線が反対の場合、各領域は $180°$ の浅い角度に対応します。それらが一致する場合、$0°$ のヌル角度、または $360°$ のターンのヌル角度を考慮できます。 同じ開口部、異なるアーチ 同じ中心を持つ 2 つの円を描きます。1 つは半径 2 cm、もう 1 つは半径 4 cm です。中央を残した 2 本の半直線は両方とも円弧を描きます。中心角は同じですが、大きい方の円の弧の長さは 2 倍になります。 半径間の比率は次のとおりです。 $$\frac42=2.$$係数 2 を拡大すると、すべての長さが 2 倍になり、角度が維持されます。したがって、円弧の角度の測定値とその長さは異なる情報です。 作業例 2 本の光線が 4 分の 1 回転を区切ります。中心角の測定値は次のとおりです。 $$\alpha=\frac{360°}{4}=90°.$$この中心を持つ円上では、選択した円弧が円の 4 分の 1 を占めます。円弧の長さは半径に応じて変化しますが、角度の測定値は $90°$ です。 日常生活での応用 建築。 古いドアや窓の上のアーチは円弧です。それを横切る真っ直ぐな梁はロープです。 コンパス コンパスの開口部は角度であり、コンパスが描く線は円弧です。 ファン。 ファンの羽根は軸の周りに等しい角度になっています。つまり、羽根の間に $120^\circ$ の 3 枚の羽根があります。 アーチ型の窓：上部が円形のアーチで、それを横切る梁がロープになっています。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ
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形を変えずに成長する三角形

漫画で描かれたランプ メッシュ上で、右に 3 コミック、上に 4 コミックのパスを描きます。始まりと終わりをセグメントで結びます。角がまっすぐな三角形、 つまり直角三角形ができました。 次に、すべての長さを折りたたんでコピーを作成します。水平パスには 6 個のコミックが含まれます。縦、8。長さは変わりましたが、コーナーの開口部は同じままでした。 $$3\cdot2=6,\qquad4\cdot2=8.$$なぜ片方だけを曲げると形が変わるのでしょうか？ 2 つのコピーを比較します。最初のコピーでは、水平方向と垂直方向のパスを折ります。 2番目では、水平方向のみを折ります。 2 番目のコピーでは、ランプはより寝かせられています。形を変えずに成長するには、全方向に同じ割合で拡大する必要があります。 この経験は、基礎 II で実証するアイデアを準備します。つまり、同じ角度を持つ三角形には対応する比例辺があります。 折り目の等しい 2 つの辺 正方形を対角線に折ります。直線コーナーの両側は曲げる前も同じ長さであり、同じ長さのままです。 2 つの小さな角も同じです。この図は、2 つの等しい辺を持つ直角三角形のモデルです。 これらの辺の一方の寸法が 5 cm である場合、もう一方の辺の寸法も 5 cm になります。 $$a=b=5\text{ cm}.$$文字は測定値の単なる名前です。対角線は別の側面です。上記の等式は、それがどの程度の量であるかを示していません。 日常生活での応用 拡大コピー。 コピー機で図を拡大すると、すべての辺が同じ比率で拡大されます。形状は変わりません。 地図。 地図は場所の縮小コピーです。したがって、通りの間の角度は、都市の地図上の角度と同じになります。 モデル。 建築家は、すべての寸法を同じ数値で割って、屋根の傾斜が同じになるようにモデルを作成します。 拡大されたコピーコピーはすべての面が曲がりますが、角度は維持されます。つまり、コピーのランプはオリジナルと同じ傾斜を持ちます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ
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ホイール上のコーナー、スポーク、およびパス

同じ点間の 2 つのパス 車輪を描いてその上にAとBの2点を印し、 それを直線で結ぶとロープになります。ホイールの端に沿って A から B まで進みます。円弧をカバーしたことになります。エッジの周囲には 2 つのパスが考えられます。どちらを使用しているかを示してください。 中心 はホイールの中央にある点です。中心から端までの線分が半径です。同じホイールのスポークはすべて同じ長さです。 僕らが持ち運べる歌 シートを半分に折り、最初の折り目と直角にもう一つ折ります。形成されたコーナーは直角モデルで、寸法は$90°$です。この角をドア、テーブル、図面に対して配置します。どの開口部がそれと同じですか? 2 つの隣接する直角は半回転を形成します。 $$90°+90°=180°.$$4 人が 1 周を完了します。 $$90°+90°+90°+90°=360°.$$腕の長さによって歌が変わらないのはなぜですか? 同じ点から出ている 2 本の矢印を描きます。 2 つの矢印の方向を変えずに伸ばします。オープニングはそのままです。したがって、角度は腕のデザインのサイズではなく、方向によって決まります。 ホイールが大きいほど、同じスピンでも円弧が長くなる場合があります。 $90°$ のコーナーは同じままです。彼は大きなホイールの 4 分の 1 を占め、小さなホイールの 4 分の 1 も占めています。 日常生活での応用 ドア。 開いたドアは壁と角を形成します。開口部は、小さなクローゼットのドアと大きなリビングルームのドアで同じです。 ピザ。 ピザが大きくても小さくても、均等に切られたピザはすべて中央に同じ角があります。 はさみ。 はさみを開くと、サイズではなく、刃の間の角が多少なりとも変化します。 スライスの数を変更します。各スライスの角は、ピザのサイズではなく、スライスの数によってのみ決まります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 試してみてください 2 本の鉛筆を角度のアームとして使用します。端を合わせておきます。鉛筆を多少開いて、ページの隅と比較してください。各開口部を直角以下、直角以上、または直角以上として説明します。 決意を持って練習する 1. ホイールの半径は 3 cm です。同じホイールの別のスポークの長さはどれくらいですか? 解像度確認1こちらも3cm。半径が等しいことは、円周の定義の一部です。 2. 2 点間のエッジ パスと直線パスには同じ名前が付けられていますか?

October 21, 2026 読んだ
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全回転、半回転、および 4 分の 1 回転

体を使って回転してみよう 壁を見てください。後ろの壁が見えるまで回転するとU ターンになります。さらに半回転するとスタートに戻ります。次に、同じスピンを 4 つの等しい部分に分けて実行してみます。各パートは4 分の 1 回転です。 ラップはいくつかの方法で分割できます。 2 つのハーフと 4 つのクォーターが同じラップを完了します。 $$\frac12+\frac12=1,\qquad \frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$ここで、数字 1 は 1 回転を表します。私たちは足が移動する経路の長さを測定しているのではなく、方向の回転を測定しています。 なぜ4分の2が半分になるのでしょうか？ 円を描いて4等分に折ります。隣接する 2 つのパーツをペイントします。ペイントされた領域はディスクの半分を占めます。それが理由です： $$\frac14+\frac14=\frac24=\frac12.$$これは配分によるデモンストレーションです。同じ部品を 4 分の 1 または 2 分の 1 に数えることができます。 メジャーの名前 大人はよく「ターンには $360°$ がある」と言い、「360 度」と読みます。それから： $$360°\div2=180°,\qquad360°\div4=90°.$$スピンを認識する前に数字を覚える必要はありません。 1回転半、4分の1回転してください。その後のみ、名前を測定値に関連付けます。 日常生活での応用 団結命令 学校でも軍隊でも「振り向いて、振り向いて！」。彼は半回転して、「右、曲がって！」と 4 分の 1 回転と言います。 ハンドルとタップ 蛇口を「4 分の 1 回転」開くか、ハンドルを「半回転」回すと回転の測定となります。 時計。 15 分で大きな針が 4 分の 1 回転します。 30 分で半回転します。 時計では、15分が大針の4分の1回転、30分が半回転となります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 活動 ディスク上に矢印のマーカーを作成します。一番上の位置からスタートして、一度に 4 分の 1 回転ずつ進みます。スタート地点に戻る前に、4 つの方向を訪れます。各段階で、どれだけ回転したかを言います: 1/4、2/4、3/4、1 回転です。

October 21, 2026 読んだ
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三角形を解決し、曖昧なケースについて議論する

どのようなデータが三角形を決定するのでしょうか? 三角形を解くには、十分なデータからその辺と角度を取得します。常に、$a,b,c$ の反対側に $A,B,C$ という規則を使用してください。非縮退三角形は、0 と $\pi$ の間に正の辺と角度があります。 1 つの側面と 2 つの角度 $a,B,C$がわかったら、$A=\pi-B-C$を計算します。 $B+C<\pi$は必須です。正弦の法則は次のようになります。 $$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$データは三角形、マイナスの位置、反射を決定します。 2 つの辺とそれらの間の角度 $b,c,A$ と $0

October 21, 2026 読んだ
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高さ、サギ、中央値、角の二等分線、および半径

側面から特別な寸法を取得します 辺 $a,b,c$、面積 $K$、半周 $s=(a+b+c)/2$ を考えてみましょう。縮退していない三角形、つまり正の辺があり、各辺が他の 2 つの合計より小さいことが必要です。 ヘロンの公式を実証する 余弦の法則より、$\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$。 $K=bc\sin A/2$ では、$\sin^2A=1-\cos^2A$ を使用します。 $$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$面積は正であるため、次のようになります。 $$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$ハイツ $K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$として: $$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$Heron の式を代入すると、各高さが側面のみの関数として得られます。 $h_a=b\sin C=c\sin B$ とその順列も有効です。 中央値 中央値 $m_a$ は、A と BC の中点を接続します。 $(-a/2,0)$と$(a/2,0)$に基端を配置し、$(u,v)$にAを配置します。端点に二乗距離を追加すると、次のようになります。 $$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+\frac{a^2}{2}.$$$m_a^2=u^2+v^2$ として、次の結果が得られます。 $$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$インデックスを入れ替えると $m_b$ と $m_c$ になります。 角の二等分線 内部 A の 角の二等分線 は D の BC と出会い、角度を 2 等分します。 ABD と ACD の面積は、直線 BC に対して同じ高さを持ち、$A/2$ の正弦を使用して計算できるため、比率は $c:b$ になります。ロゴ： $$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$角の二等分線 $t_a=AD$ の辺によって計算される面積の合計は次のようになります。

October 21, 2026 読んだ
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サイン、コサイン、射影、面積の法則

表記を修正 非縮退三角形では、角度 $A,B,C$ はそれぞれ辺 $a,b,c$ の反対側になります。すべての面がプラスで $A+B+C=\pi$ です。 余弦の法則のデモンストレーション 頂点 A を原点に、B を $(c,0)$ に、C を $(b\cos A,b\sin A)$ に配置します。 BとCの間の距離は$a$です。ピタゴラスの定理を座標の差に適用すると、次のようになります。 $$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$この議論は鈍角にも当てはまります。 $A=\pi/2$ の場合、コサイン項はゼロとなり、ピタゴラスが再び見つかります。文字を並べ替えると、他の 2 つのコサイン法則が得られます。 正弦の法則の領域とデモンストレーション 足がベース延長部分に落ちた場合でも、$c$ に対する高さは $b\sin A$ になります。エリア$K$は次のとおりです。 $$K=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}.$$3 つの式を等しくして $abc/2>0$ で割ると、次のようになります。 $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$外接円の半径を$R$とすると、内接角$A$をなす弦は$a=2R\sin A$を満たす。高い $A$ の場合、これは文字列と 2 つの半径によって形成される三角形を半分に分割することによって得られます。 $A$ 鈍角の場合は、同じ正弦の補足を使用してください。ストレートの場合、弦は直径です。したがって： $$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$$ $$K=\frac{abc}{4R}.$$射影関係 片側方向に関する変位は、符号付きで合計されます。辺 $c$ と $b$ を $a$ の直線に投影する:

October 21, 2026 読んだ
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サイン、コサイン、タンジェントの不等式

点だけでなく円弧を選択してください $\sin x=m$ のような方程式は、交差する点を水平線でマークします。不等式 $\sin x>m$ は、この線より上の円弧を選択します。 $\sin x

October 21, 2026 読んだ
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逆正弦、逆余弦、逆正接

なぜ制限する必要があるのでしょうか？ インバースでは、出力から単一の入力を取得する必要があります。サイン、コサイン、タンジェントの繰り返し値。逆関数を定義するには、各関数が 1 対 1 であり、目的のイメージ全体に到達する間隔を選択します。 制限された機能 選択したドメイン 画像 正弦 $[-\pi/2,\pi/2]$ $[-1,1]$ 余弦 $[0,\pi]$ $[-1,1]$ 正接 $(-\pi/2,\pi/2)$ $\mathbb R$ これらの間隔では、サインとタンジェントは厳密に増加し、コサインは厳密に減少します。各出力は 1 回だけ表示されます。したがって、逆関数は明確に定義されています。 定義とドメイン $$y=\arcsin t\iff\sin y=t,\quad-\frac\pi2\le y\le\frac\pi2,$$ $$y=\arccos t\iff\cos y=t,\quad0\le y\le\pi,$$ $$y=\arctan t\iff\tan y=t,\quad-\frac\pi2

October 21, 2026 読んだ
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区間と古典的な三角方程式

家族をフィルタリングする $\sin x=1/2$ から $[0,4\pi)$ を解くには、まずファミリ $x=\pi/6+2k\pi$ と $x=5\pi/6+2k\pi$ を取得します。次に、範囲の制限を課します。解決策は次のとおりです。 $$\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6,\quad\frac{13\pi}6,\quad\frac{17\pi}6.$$端部の包含符号が重要です。変数式を二乗または乗算した後、その答えを最初の式に代入します。 サインとコサインの組み合わせ $a\sin x+b\cos x=c$ を解決するには、$(a,b)\ne(0,0)$ で $R=\sqrt{a^2+b^2}$ を設定し、次のように $\varphi$ を選択します。 $$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$これら 2 つの数値の 2 乗を合計すると 1 になるため、これが可能になります。加算式を使用すると、次のようになります。 $$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi).$$$|c|\le R$ のとき、方程式は正確に実数解を持ちます。たとえば、$\sin x+\cos x=1$ は $\sin(x+\pi/4)=\sqrt2/2$ と同等です。 $x=2k\pi$ または $x=\pi/2+2k\pi$ を返します。 積になる合計 サインまたはコサインの合計は積に変換できます。 $\sin3x+\sin x=0$ では $2\sin2x\cos x=0$ が得られます。それぞれのゼロ要因を解決し、繰り返しを排除して家族を団結させます。ゼロになる可能性のある係数で除算しないでください。 第四の権力 $\sin^2x+\cos^2x=1$ を 2 乗すると次のようになります。 $$\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x =1-\frac12\sin^22x.$$したがって、$\sin^4x+\cos^4x=A$ は $\sin^22x=2(1-A)$ と同等になります。 $1/2\le A\le1$の場合のみ解決策があります。サインの考えられる 2 つの符号を抽出して解きます。 第六の力 $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$は$u=\sin^2x$、$v=\cos^2x$と併用してください。 $u+v=1$ のように:

October 21, 2026 読んだ
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サイン、コサイン、タンジェントの基本方程式

方程式は入力を探します 三角方程式は、等式を真にする変数の値を求めます。式を変換する前に、そのドメインを決定します。ゼロになる可能性のある関数による除算は、解を排除する可能性があります。 $\sin x=m$または$\cos x=m$の場合は、$-1\le m\le1$が必要です。接線については、任意の実数 $m$ が可能ですが、$\cos x=0$ への入力は禁止されたままです。 正弦族のデモンストレーション 水平線は最大 2 点でサイクルを切ります。一方が$\alpha$に対応すると、もう一方は$\pi-\alpha$に対応します。フルターンしながらステッチを繰り返します。 $$\sin x=\sin\alpha\iff \begin{cases} x=\alpha+2k\pi,\ \text{ou}\\ x=\pi-\alpha+2k\pi, \end{cases}\qquad k\in\mathbb Z.$$正弦の極端な値では、2 つのファミリーが一致する可能性があります。これは個別のソリューションを追加するものではありません。 コサインとタンジェント 垂直線は $\alpha$ と $-\alpha$ の位置を示します。 $$\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi.$$2 つの反対方向の垂直/水平比は同じです。 $$\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi,$$$\tan\alpha$が存在する限り。これらの式は、式関数間の等式も解決します。$x$ と $\alpha$ を対応する引数に置き換えて、結果の方程式を解きます。 完全な例 $\sin2x=\sin(\pi/3)$を解きます。可能性は次のとおりです。 $$2x=\frac\pi3+2k\pi\Rightarrow x=\frac\pi6+k\pi,$$ $$2x=\pi-\frac\pi3+2k\pi\Rightarrow x=\frac\pi3+k\pi.$$両方の家族が必要です。等価 $\sin u=\sin v$ は、単に $u=v$ を意味するわけではありません。 参考事例 $$\sin x=0\iff x=k\pi,$$ $$\cos x=0\iff x=\frac\pi2+k\pi,$$ $$\tan x=0\iff x=k\pi.$$度単位では、$\pi$ を $180°$ に、$2\pi$ を $360°$ に変更し、すべての項で同じ単位を維持します。 日常生活での応用 観覧車。 キャビンが一定の高さに達する瞬間を見つけることが $\operatorname{sen}\theta = m$ を解くことです。 コンセント。 60 Hz の電圧は、1 秒あたり 120 回、つまり基本方程式の解を打ち消します。 潮汐。 満潮時刻は、各期間に 1 つずつ、一連​​の解を形成します。 キャビンの高さ: 各目標の高さにより、ターンごとに 2 つの解決策が得られます。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ
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和を積に変換し、積を和に変換する

2 つの既知の式を追加します $\sin(a+b)$と$\sin(a-b)$の式を書きます。これらを合計すると、$\cos a\sin b$ を含む項は互いに打ち消し合います。 $$\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.$$次に、$u=a+b$ と $v=a-b$ を実行します。次に$a=(u+v)/2$と$b=(u-v)/2$。これにより、以下の最初の ID が生成されます。他のケースは、サインとコサインの式を加算または減算することによって得られます。 $$\sin u+\sin v=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\sin u-\sin v=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},$$ $$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$これらのアイデンティティは、すべての実数 $u,v$ に対して有効です。後者の場合、負符号は必須です。 向こうへ行ってください 同じ式を並べ替えると、次のようになります。 $$2\sin a\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b),$$ $$2\cos a\sin b=\sin(a+b)-\sin(a-b),$$ $$2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b),$$ $$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b).$$ゼロを見つけるには、1 つの製品の方が便利な場合があります。合計は、項をまとめたり、正確な値を計算したりする場合に便利です。 例: 因数による解決 $\sin3x+\sin x=0$ での変換は次のようになります。 $$2\sin2x\cos x=0.$$したがって、$\sin2x=0$ または $\cos x=0$ になります。最初のファミリーは $x=k\pi/2$、2 番目のファミリーは $x=\pi/2+k\pi$ です。後者は前者にすでに含まれています。すべての解の集合は$\{k\pi/2:k\in\mathbb Z\}$です。 正確な計算例 $$\sin75°+\sin15°=2\sin45°\cos30°=\frac{\sqrt6}{2}.$$小数による近似は必要ありませんでした。角度の平均によって一方の要素が決まり、差の半分によってもう一方の要素が決まります。 日常生活での応用 ビート。 440 Hz と 442 Hz の 2 つの音は、1 秒間に 2 回パルスする 441 Hz の音のように聞こえます。その合計が積になります。 電話キー。 各キーは 2 つの周波数を追加します。制御ユニットは合計を分離してキーを認識します。 AM ラジオ。 サウンドに搬送波を乗算すると、ラジオが拾う和周波数と差周波数が作成されます。 プロダクト内のサインの合計: ミュージシャンがチューニングに使用するビート。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 21, 2026 読んだ