なぜ制限する必要があるのでしょうか？

インバースでは、出力から単一の入力を取得する必要があります。サイン、コサイン、タンジェントの繰り返し値。逆関数を定義するには、各関数が 1 対 1 であり、目的のイメージ全体に到達する間隔を選択します。

制限された機能 選択したドメイン 画像
正弦 $[-\pi/2,\pi/2]$ $[-1,1]$
余弦 $[0,\pi]$ $[-1,1]$
正接 $(-\pi/2,\pi/2)$ $\mathbb R$

これらの間隔では、サインとタンジェントは厳密に増加し、コサインは厳密に減少します。各出力は 1 回だけ表示されます。したがって、逆関数は明確に定義されています。

定義とドメイン

$$y=\arcsin t\iff\sin y=t,\quad-\frac\pi2\le y\le\frac\pi2,$$

$$y=\arccos t\iff\cos y=t,\quad0\le y\le\pi,$$

$$y=\arctan t\iff\tan y=t,\quad-\frac\pi2Arcsine と Arccosine はドメイン $[-1,1]$ を持ちます。逆正接はドメイン $\mathbb R$ を持ちます。そのグラフは、ライン $y=x$ に関連する元の制限されたブランチを反映しています。

正しい順序で作成する

$t\in[-1,1]$、$\sin(\arcsin t)=t$の場合。ただし、$\arcsin(\sin x)=x$は$x$がメイン範囲にある場合のみ保証されます。例えば：

$$\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) =\arcsin\frac12=\frac\pi6.$$

値 $5\pi/6$ の正弦は同じですが、逆正弦の主な範囲外にあります。逆関数は主要な答えを与えます。三角方程式には無限の答えが存在します。

逆数間の同一性

$y=\arcsin t$の場合は$y\in[-\pi/2,\pi/2]$と$\pi/2-y\in[0,\pi]$になります。 $\cos(\pi/2-y)=\sin y=t$ と同様に、逆余弦の定義は次のようになります。

$$\arcsin t+\arccos t=\frac\pi2,\qquad -1\le t\le1.$$

$\arcsin t$ という表記は、$1/\sin t$ の逆数ではなく、制限された関数の逆数を表します。サインの逆数がコセカントです。

日常生活での応用

  • スロープと道路。 パーセンテージで表した勾配から角度が取得されます。20% は $\operatorname{arc\,tg} 0{,}2 \approx 11{,}3^\circ$ に対応します。
  • はしご 足の長さが1/4の場合、床との角度は$\operatorname{arc\,cos}\frac{1}{4} \approx 75{,}5^\circ$です。
  • センサー。 携帯電話やドローンは、逆正接を使用してセンサーの測定値から傾斜角を計算します。
安全規則に基づいた階段の角度。アークコサインを使用します。

決意を持って練習する

1. $\arccos(-\sqrt2/2)$と$\arctan(-\sqrt3)$を計算します。

解像度確認1

逆余弦は $3\pi/4$ を返します。それぞれのメイン画像に関して、接線アークは $-\pi/3$ を返します。

2. $f(x)=\arcsin(2x-1)$ の実際のドメインは何ですか?

解像度確認2

$-1\le2x-1\le1$は必須です。 1を足し、2、$0\le x\le1$で割ります。

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