区間と古典的な三角方程式

家族をフィルタリングする

$\sin x=1/2$ から $[0,4\pi)$ を解くには、まずファミリ $x=\pi/6+2k\pi$ と $x=5\pi/6+2k\pi$ を取得します。次に、範囲の制限を課します。解決策は次のとおりです。

$$\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6,\quad\frac{13\pi}6,\quad\frac{17\pi}6.$$

端部の包含符号が重要です。変数式を二乗または乗算した後、その答えを最初の式に代入します。

$a\sin x+b\cos x=c$ を解決するには、$(a,b)\ne(0,0)$ で $R=\sqrt{a^2+b^2}$ を設定し、次のように $\varphi$ を選択します。

$$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$

これら 2 つの数値の 2 乗を合計すると 1 になるため、これが可能になります。加算式を使用すると、次のようになります。

$$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi).$$

$|c|\le R$ のとき、方程式は正確に実数解を持ちます。たとえば、$\sin x+\cos x=1$ は $\sin(x+\pi/4)=\sqrt2/2$ と同等です。 $x=2k\pi$ または $x=\pi/2+2k\pi$ を返します。

サインまたはコサインの合計は積に変換できます。 $\sin3x+\sin x=0$ では $2\sin2x\cos x=0$ が得られます。それぞれのゼロ要因を解決し、繰り返しを排除して家族を団結させます。ゼロになる可能性のある係数で除算しないでください。

$\sin^2x+\cos^2x=1$ を 2 乗すると次のようになります。

$$\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x =1-\frac12\sin^22x.$$

したがって、$\sin^4x+\cos^4x=A$ は $\sin^22x=2(1-A)$ と同等になります。 $1/2\le A\le1$の場合のみ解決策があります。サインの考えられる 2 つの符号を抽出して解きます。

$u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$は$u=\sin^2x$、$v=\cos^2x$と併用してください。 $u+v=1$ のように:

$$\sin^6x+\cos^6x=1-\frac34\sin^22x.$$

右辺 $A$ の方程式には、$1/4\le A\le1$ の場合にのみ解があります。

スプリング。 スプリング上の質量の位置 $a\operatorname{sen}\omega t + b\cos\omega t$ は、振幅 $\sqrt{a^2 + b^2}$ の単一の正弦波になります。
加算される波。 同じ周波数の位相の異なる 2 つの音が加算されて 1 つの波になります。振幅は遅れに依存します。
範囲内の答え。 物理的な問題では、$0^\circ$ と $90^\circ$ の間の打ち出し角など、特定の範囲内の解のみが役に立ちます。

スプリング上の $a\operatorname{sen}t + b\cos t$: 振幅 $\sqrt{a^2 + b^2}$ の単一振動。

1. 参照: $\sin^4x+\cos^4x=3/4$ から演習 C.243 を解きます。

解像度確認1

ID は $\sin^22x=1/2$、次に $2x=\pi/4+k\pi/2$ を与えます。ロゴ$x=\pi/8+k\pi/4$、$k\in\mathbb Z$。

2. 参照: $\sin^6x+\cos^6x=7/16$ から演習 C.244 を解きます。

解像度確認2

$1-\frac34\sin^22x=7/16$ は $\sin^22x=3/4$ を与えます。つまり、$2x=\pm\pi/3+k\pi$ または $x=\pm\pi/6+k\pi/2$ になります。

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