毕达哥拉斯、直角三角形的高度和投影

命名每个段

在直角三角形中，与直角相对的边是斜边。称呼她为 $a$ 和男孩们 $b,c$。其他角都是锐角，加起来为 $90°$。

将高度 $h$ 绘制到斜边。它将 $a$ 分为两个投影：与边 $b$ 关联的 $m$，以及与边 $c$ 关联的 $n$。因此，$m+n=a$。

两个较小的三角形有一个直角和一个锐角，与原来的三角形相同。他们和他很相似。比较对应边：

$$\frac b a=\frac m b\Rightarrow b^2=am,\qquad \frac c a=\frac n c\Rightarrow c^2=an.$$

将两个等式相加并使用 $m+n=a$：

$$b^2+c^2=a(m+n)=a^2.$$

我们得到了毕达哥拉斯定理。它是根据相似边之间的关系推导出来的，而不依赖于特定测量的示例。

面积可以通过腿或斜边及其高度来计算：

$$\frac{bc}{2}=\frac{ah}{2}\Rightarrow ah=bc.$$

平方并代入 $b^2=am$ 和 $c^2=an$：

$$h^2=\frac{b^2c^2}{a^2}=\frac{am\cdot an}{a^2}=mn.$$

因此，$h=\sqrt{mn}$。所有这些措施都是积极的。

斜边的中点M到三个顶点的距离相同。要了解原因，请完成三角形直至形成矩形。矩形的对角线相等并切成两半。每一半的测量值为$a/2$。

因此，从直角到 M 绘制的中位数测量为 $a/2$。这也表明以M为圆心、以$a/2$为半径的圆经过三个顶点。

对于腿 6 和 8 厘米，$a=\sqrt{36+64}=10$ 厘米。然后：

$$h=\frac{6\cdot8}{10}=4{,}8\text{ cm},$$

$$m=\frac{6^2}{10}=3{,}6\text{ cm},\qquad n=\frac{8^2}{10}=6{,}4\text{ cm}.$$

预测总和为 10 cm，中位数为 5 cm，证实了这些关系。

瓦工方格：一面墙为 3 米，另一面墙为 4 米；如果对角线给出 5 m，则角是直的，因为 $3^2 + 4^2 = 5^2$。

1。高度将斜边分为 4 和 9 厘米。计算斜边和高度。

检查分辨率 1

$a=4+9=13$ 厘米和 $h=\sqrt{4\cdot9}=6$ 厘米。

2。斜边尺寸为 26 厘米。从直角开始的中线有多长？

检查分辨率 2

斜边的一半：$26/2=13$ 厘米。

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。