在讨论正弦或余弦之前，我们需要知道如何测量一段周长。为此有两个标尺：度（从巴比伦人继承）和弧度（用半径本身测量弧度）。

故事

将周长划分为360部分来自美索不达米亚的天文学，它以60为基础进行计算，并跟随太阳，太阳大约在360天内覆盖了天空。公元前二世纪，喜帕恰斯在他的和弦表中采用了360度，而托勒密在天文学大成（约公元150 AD）中，将每个度分为60分钟，每分钟分为60秒 - minutae primae 和 secundae 部分为分钟和秒命名。

通过长度来测量圆弧，以半径为单位的想法是最近才出现的。英国人Roger Cotes在1714中认识到这是角度的“自然”单位，而Leonhard Euler在无限分析导论（1748）中系统地使用了它，研究了半径为1的圆。 弧度这个词仅在1873中以印刷形式出现，出现在工程师James Thomson（开尔文勋爵的兄弟）准备的考题中。

尼西亚的喜帕恰斯（公元前 190–120），后来的艺术表现。他们的字符串表已经使用了 360 度。
尼西亚的喜帕恰斯（公元前 190–120），后来的艺术表现。他们的字符串表已经使用了 360 度。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域
  1. c. 1800 a.C.
    巴比伦人以基础 60 进行计算，这是在 60 分 60 秒内留下的遗产。
  2. 世纪。公元前II
    Hiparchus 在第一个和弦表中使用 360 度数。
  3. c. 150
    托勒密在天文学大成中将度分为分和秒。
  4. 1714
    Roger Cotes 认识到半径是角度的自然单位。
  5. 1748
    欧拉在简介中作用于半径为1的圆。
  6. 1873
    在 James Thomson 的校样中，弧度这个词出现在印刷品中。

单词。 Trigonometry 加入了希腊语 trígōnon（“三角形”）和 metron（“测量”）。托勒密将圆周的每个 360 部分称为 moîra（μοῖρα，“部分”）； moîra 的第六十部分是 质子 hexēkostón，“第一个六十”，而其中的六十部分是 氘核 hexēkostón，“第二个六十”。拉丁语译者将这些名称翻译为 gradus（“步骤”）、pars minuta prima（“第一小部分”）和 pars minuta secunda — 由此而来，缩短了度数、分钟和秒。

葡萄牙语 英语 拉丁 托勒密的希腊语
程度 学位 等级 莫伊拉
分钟 分钟 第一分钟 质子 hexēkostón
第二 第二次 第二分钟 氘核 hexēkostón

迹象 $^\circ$, $'$ 和 $''$ 花了一段时间才平静下来。在 16 世纪，每位作者都以自己的方式书写度、分和秒：日历中有不同的形式 雷吉奥蒙塔努斯 (1473), 在 实用算术 的 奥龙塞·菲内 （1535），在算术书中 杰玛·弗里修斯 【1539】 来自新斯特拉 的 第谷·布拉赫 （1573），关于他在 1572 年观察到的新星。

来源： Roger Cotes (MacTutor) · Hiparchus (MacTutor) · 托勒密 (MacTutor) · F. Cajori，数学符号史，卷。 II (1929)。

在日常生活中

  • 导航和地图。 纬度和经度以度、分和秒给出：$23^\circ 33'$ S 是圣保罗的大致纬度。
  • 轮子和齿轮。 半径为 $r$ 的轮子旋转 $\theta$ 弧度的角度，使边缘上的点精确移动 $\theta \cdot r$。
  • **计算器和计算机。**编程语言的函数sin、cos和tan以弧度为单位；在计算器上，DEG 模式使用度数，RAD 模式使用弧度。

来源： Roger Cotes (MacTutor) · Hiparchus (MacTutor) · 托勒密 (MacTutor)。

以度、分和秒为单位的纬度：选择一个城市并查看到赤道的距离。

理论

圆周弧

Definição圆周弧

圆上两个不同的点 $A$ 和 $B$ 将其分为两部分。这些部分中的每一个，包括 $A$ 和 $B$，都是一个圆弧 $\overset{\frown}{AB}$。

如果$A$和$B$重合，它们也确定了两条弧：其中一条是点本身，称为空弧；另一种是整个圆周，称为一圈圆弧。

左边，两个端点圆弧$A$和$B$；右边的$A = B$决定零弧和一圈的弧。

圆弧的测量

要比较两个弧 $\overset{\frown}{AB}$ 和 $\overset{\frown}{CD}$ 的“大小”，我们需要一种测量弧的方法。

Definição圆弧的测量

弧 $\overset{\frown}{AB}$ 相对于单一弧 $u$（非空且与 $\overset{\frown}{AB}$ 具有相同半径）的测量是实数，表示弧 $u$ 适合弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的次数。

如果 $u$ 在 $\overset{\frown}{AB}$ 中适合 6 次，则写为 $\overset{\frown}{AB} = 6 \cdot u$，$\overset{\frown}{AB}$ 的度量为 6。

单一圆弧 $u$ 在圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 中适合 6 次。

单位：度和弧度

如果每个人选择自己的单位 $u$，则相同的弧会有不同的测量值。这就是为什么我们只使用两个弧单元。

Definição度数和弧度

  • 度（符号$^\circ$）是等于包含测量弧的圆的$\dfrac{1}{360}$的单位弧。
  • 弧度（弧度符号）是单位弧，其长度等于包含测量弧的圆的半径。

说 $\overset{\frown}{AB}$ 测量 1 rad 意味着，通过“拉伸”弧，我们获得了长度等于半径的线段。

移动角度控制。虚线标记为 1 rad、2 rad、3 rad…：半径刚好超过圆周的 6 倍。更改半径不会更改测量值 $\alpha = \ell / r$。

一个圆有多少弧度？

很明显，周长为 $360^\circ$。它测量了多少弧度不再那么明显。一个构造给出了这样的想法：

  1. 在以 $O$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆中，我们内切一个正六边形 $ABCDEF$。每条边的尺寸为 $r$: $\overline{AB} = \overline{BC} = \cdots = \overline{FA} = r$。
  2. 圆被分成 6 个相等的圆弧、$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \cdots = \overset{\frown}{FA}$。由于弧始终长于字符串，因此每个弧的测量值都超过 1 rad。
  3. 它们中的每一个都“适合”1 rad - $\overset{\frown}{AB'} = \overset{\frown}{BC'} = \cdots = \overset{\frown}{FA'} = 1$ rad - 并且仍然剩下一小部分弧度。
  4. 因此，弧度适合圆周的6倍，并且仍然有这六个“剩余”的总和。
内接正六边形的每条边的尺寸为 $r$；相应的弧大于弦，因此其测量值略大于 1 rad（最多为 $B'$、$C'$，…）。

更准确地说，它显示周长为 $6{,}283185\ldots$ rad。该数字为 $2\pi$，其中 $\pi = 3{,}14159\ldots$ 是任意圆的长度与其直径的比率：长度为 $2\pi r$，半径正好在 $2\pi$ 倍内。

Resumo单位换算

$$360^\circ \;\longleftrightarrow\; 2\pi \text{ rad} \qquad\qquad 180^\circ \;\longleftrightarrow\; \pi \text{ rad}$$

要进行转换，只需从 $180^\circ \leftrightarrow \pi$ rad 开始的三规则：

$$x \text{ (rad)} = \frac{\pi}{180} \cdot g \text{ (graus)} \qquad\qquad g \text{ (graus)} = \frac{180}{\pi} \cdot x \text{ (rad)}.$$

特别是，$1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 44''$。

度数 $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$ $180^\circ$ $270^\circ$ $360^\circ$
弧度 $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\pi$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $2\pi$

Atenção分钟和秒

度分为$60'$（分），分钟分为$60''$（秒）：$1^\circ = 60'$和$1' = 60''$。因此，$30' = 0{,}5^\circ$。要将 $22^\circ 30'$ 等弧度转换为弧度，请以最小单位 ($1350'$) 写入所有内容，并将其与 $180^\circ = 10\,800'$ 进行比较。

本节中的练习是[章节列表]中的编号1到10（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap01-arcos-e-angulos/04-exercicios/).