Obter medidas especiais a partir dos lados

Considere lados $a,b,c$, área $K$ e semiperímetro $s=(a+b+c)/2$. Exigimos um triângulo não degenerado: lados positivos e cada lado menor que a soma dos outros dois.

Demonstrar a fórmula de Heron

Da lei dos cossenos, $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$. Em $K=bc\sin A/2$, use $\sin^2A=1-\cos^2A$:

$$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$

A área é positiva, então:

$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$

Alturas

Como $K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$:

$$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$

Substituir a expressão de Heron fornece cada altura apenas em função dos lados. Também valem $h_a=b\sin C=c\sin B$ e suas permutações.

Medianas

A mediana $m_a$ liga A ao ponto médio de BC. Coloque os extremos da base em $(-a/2,0)$ e $(a/2,0)$ e A em $(u,v)$. Somar as distâncias ao quadrado até os extremos dá:

$$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+\frac{a^2}{2}.$$

Como $m_a^2=u^2+v^2$, resulta:

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$

Trocar os índices fornece $m_b$ e $m_c$.

Bissetrizes internas

A bissetriz de A encontra BC em D e divide o ângulo em duas partes iguais. As áreas de ABD e ACD estão na razão $c:b$, porque têm a mesma altura relativa à reta BC e também podem ser calculadas com o seno de $A/2$. Logo:

$$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$

A soma das áreas calculadas pelos lados da bissetriz $t_a=AD$ é:

$$K=\frac{(b+c)t_a\sin(A/2)}{2}.$$

Comparando com $K=bc\sin A/2$ e usando $\sin A=2\sin(A/2)\cos(A/2)$:

$$t_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c} =\frac{2\sqrt{bc\,s(s-a)}}{b+c}.$$

A segunda forma decorre de $\cos^2(A/2)=s(s-a)/(bc)$, obtida pela lei dos cossenos. Todas as raízes são positivas. Troque as letras para obter as demais bissetrizes.

Círculos inscrito e circunscrito

O incentro está a uma distância $r$ de cada lado. Dividir o triângulo nos três triângulos que têm esse centro como vértice fornece:

$$K=\frac{ar+br+cr}{2}=sr.$$

Assim:

$$r=\frac Ks=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}s}.$$

A tangente traçada de um vértice até os dois pontos de contato tem comprimentos iguais. O trecho associado ao vértice A mede $s-a$. No triângulo retângulo formado com o incentro:

$$r=(s-a)\tan\frac A2.$$

Pela lei dos senos e pela expressão de área da aula anterior:

$$R=\frac{abc}{4K}.$$

Exemplo: lados 5, 5 e 6

Temos $s=8$ e $K=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$. Para a base $a=6$, com $b=c=5$:

$$h_a=4,\quad m_a=4,\quad t_a=4,\quad r=\frac32,\quad R=\frac{25}{8}.$$

Altura, mediana e bissetriz coincidem nessa direção porque o triângulo é isósceles. Em geral, são segmentos diferentes.

No dia a dia

  • Área com trena. Medindo só os lados de um terreno (13, 14 e 15 m), a fórmula de Heron dá 84 m².
  • Fonte no jardim. O raio da maior fonte circular que cabe num canteiro triangular é o raio inscrito, $r = \frac{S}{p}$.
  • Equilíbrio. Uma placa triangular de espessura uniforme se equilibra na ponta de um lápis no baricentro, o encontro das medianas.
Heron, raio inscrito e raio circunscrito num terreno triangular.

Exercícios com resolução

1. Um triângulo tem lados 13, 14 e 15 cm. Calcule área e raio inscrito.

Conferir resolução 1

$s=21$ cm e $K=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$ cm². Então $r=84/21=4$ cm.

2. Nos mesmos lados, calcule a altura e a mediana relativas ao lado de 14 cm.

Conferir resolução 2

$h=2\cdot84/14=12$ cm. A mediana é $m=\tfrac12\sqrt{2\cdot13^2+2\cdot15^2-14^2}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$ cm.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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