Começar pelo desenho

Marque pontos A e B distintos em uma circunferência. Eles a dividem em dois arcos, ambos incluindo A e B. A corda AB é o segmento reto entre os pontos. Um arco não é um segmento.

Se os extremos coincidem, distinguimos o arco nulo, que se reduz ao ponto, e o arco de uma volta, que percorre a circunferência inteira. Essa distinção será importante ao comparar a posição final com o giro realizado.

O que é um ângulo?

Uma semirreta tem uma origem e segue indefinidamente em uma direção. Duas semirretas com origem O determinam as duas regiões angulares do plano. Quando usamos a menor abertura, precisamos indicar isso; a abertura do outro lado também existe.

Se as semirretas são opostas, cada região corresponde a um ângulo raso de $180°$. Se coincidem, podemos considerar o ângulo nulo de $0°$ ou o de uma volta de $360°$.

Uma mesma abertura, arcos diferentes

Trace duas circunferências com o mesmo centro, uma de raio 2 cm e outra de raio 4 cm. Duas semirretas saindo do centro cortam arcos nas duas. O ângulo central é o mesmo, mas o arco da circunferência maior tem o dobro do comprimento.

A razão entre os raios é:

$$\frac42=2.$$

Uma ampliação de fator 2 dobra todos os comprimentos e conserva os ângulos. Portanto, a medida angular de um arco e seu comprimento são informações diferentes.

Exemplo resolvido

Duas semirretas delimitam um quarto de volta. O ângulo central mede:

$$\alpha=\frac{360°}{4}=90°.$$

Em qualquer circunferência com esse centro, o arco escolhido ocupa um quarto da volta. Sua medida angular é $90°$, mesmo que o comprimento do arco mude com o raio.

No dia a dia

  • Arquitetura. O arco sobre portas e janelas antigas é um arco de circunferência; a viga reta que o atravessa é uma corda.
  • Compasso. A abertura do compasso é um ângulo, e o traço que ele faz é um arco.
  • Ventilador. As pás de um ventilador ficam a ângulos iguais em volta do eixo: três pás, $120^\circ$ entre elas.
Uma janela em arco: a parte de cima é um arco de circunferência, e a travessa que o atravessa é uma corda.

Exercícios com resolução

1. Os pontos de uma corda são extremos de quantos arcos quando são distintos?

Conferir resolução 1

De dois arcos. Um pode ser menor e o outro maior; se os pontos são extremos de um diâmetro, os dois são semicircunferências.

2. Um ângulo raso corresponde a que fração de uma volta?

Conferir resolução 2

$180°/360°=1/2$, ou meia-volta.

No livro interativo

Os mesmos assuntos, com todas as demonstrações e a lista completa de exercícios, estão no livro interativo de Trigonometria:

Esta aula é uma introdução mais curta ao tema; no livro, a teoria vem acompanhada dos exercícios resolvidos e propostos do capítulo.

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