解決策を伴う演習では方法が示されます。以下の場合は適用してください。答えを開く前に、それぞれを試してください。

アーチの測定

1

$225^\circ$ をラジアンで表します。

解像度を参照してください

単純な 3 つのルール:

$$\begin{array}{rcl} 180^\circ & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 225^\circ & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \text{ rad}.$$
2

ラジアンで表現します: a) $210^\circ$; b) $240^\circ$; c) $270^\circ$; d) $300^\circ$; e) $315^\circ$; f) $330^\circ$。

解答を見る

a) $\dfrac{7\pi}{6}$ rad b) $\dfrac{4\pi}{3}$ rad c) $\dfrac{3\pi}{2}$ rad d) $\dfrac{5\pi}{3}$ rad e) $\dfrac{7\pi}{4}$ rad f) $\dfrac{11\pi}{6}$ rad

3

$\dfrac{11\pi}{6}$ rad を度で表します。

解像度を参照してください
$$\begin{array}{rcl} \pi \text{ rad} & \longleftrightarrow & 180^\circ \\ \dfrac{11\pi}{6} \text{ rad} & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{\frac{11\pi}{6} \cdot 180}{\pi} = 330^\circ.$$
4

度で表します: a) $\dfrac{\pi}{6}$ rad; b) $\dfrac{\pi}{4}$ rad; c) $\dfrac{\pi}{3}$ rad; d) $\dfrac{2\pi}{3}$ rad; e) $\dfrac{3\pi}{4}$ rad; f) $\dfrac{5\pi}{6}$ ラジアン。

解答を見る

a) $30^\circ$ · b) $45^\circ$ · c) $60^\circ$ · d) $120^\circ$ · e) $135^\circ$ · f) $150^\circ$

5

円弧の寸法は 30 cm、円の半径は 10 cm です。円弧の寸法をラジアンで計算します。

解像度を参照してください

ラジアン単位の測定値は、円弧の長さと半径の長さの比です。

$$\text{medida de } \overset{\frown}{AB} \text{ em rad} = \frac{\text{comprimento do arco } \overset{\frown}{AB}}{\text{comprimento do raio}} = \frac{30 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 3 \text{ rad}.$$
6

半径 10 cm の円上に、弦 $\overline{AB}$ の寸法が 10 cm になるように円弧 $\overset{\frown}{AB}$ がマークされます。円弧の寸法をラジアンで計算します。

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解像度を参照してください

線分$\overline{AB}$の半径は、 円に内接する正六角形の辺です。したがって、最小の円弧$\overset{\frown}{AB}$は円周の$\dfrac{1}{6}$となり、

$$\frac{1}{6} \times 2\pi \text{ rad} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}.$$
7

1 度は $60'$ (60 分) に分割され、1 分は $60''$ (60 秒) に分割されます。たとえば、$30'$ の円弧は $0{,}5^\circ$ の円弧になります。円弧をラジアンに変換します。 a) $22^\circ 30'$; b) $31^\circ 15' 45''$。

解像度を参照してください

a) $22^\circ 30' = 22 \times 60' + 30' = 1350'$ と $180^\circ = 180 \times 60' = 10\,800'$。それから

$$\begin{array}{rcl} 10\,800' & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 1350' & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{1350 \cdot \pi}{10\,800} = \frac{\pi}{8} \text{ rad}.$$

b) $31^\circ 15' 45'' = 31 \times 3600'' + 15 \times 60'' + 45'' = 112\,545''$ および $180^\circ = 180 \times 3600'' = 648\,000''$。それから

$$\begin{array}{rcl} 648\,000'' & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 112\,545'' & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{112\,545 \cdot \pi}{648\,000} \approx \frac{112\,545 \cdot 3{,}1416}{648\,000} \approx 0{,}54563 \text{ rad}.$$
8

1 rad の弧を度に変換します。

解像度を参照してください
$$\begin{array}{rcl} 3{,}1416 \text{ rad} & \longleftrightarrow & 180^\circ \\ 1 \text{ rad} & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{180^\circ}{3{,}1416}.$$

除算すると、$\dfrac{180}{3{,}1416} \approx 57{,}2956$。整数部分は$57^\circ$となります。 $0{,}2956^\circ$ に 60 を乗算した余りは、$0{,}2956 \times 60 \approx 17{,}738'$、つまり $17'$ の分になります。新しい余り $0{,}738'$ に 60 を掛けた値は秒になります: $0{,}738 \times 60 \approx 44''$。したがって

$$1 \text{ rad} \approx 57^\circ 17' 44''.$$

この図は、1 rad と $60^\circ$ を比較しています。正三角形 側 $r$ では、弦の長さは $r$ で、$60^\circ$ の円弧は $r$ より大きいです。長さ $r$ の円弧は少し早い $57^\circ 17' 44''$ で終了します。

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9

$a - b = 15^\circ$ と $a + b = \dfrac{7\pi}{4}$ ラジアンのように、円弧 $a$ と $b$ の測定値をラジアンで表します。

解答を見る

$a = \dfrac{11\pi}{12}$ ラジアンと $b = \dfrac{5\pi}{6}$ ラジアン

10

$a + b + c = 13^\circ$、$a + b + 2c = \dfrac{\pi}{12}$ rad、および $a + 2b + c = \dfrac{\pi}{9}$ rad のように、円弧 $a$、$b$、および $c$ の測定値を度で表します。

解答を見る

$a = 4^\circ$, $b = 7^\circ$ e $c = 2^\circ$

角度の測定

11

図の角度 $a\hat{O}b$ の寸法を度単位で計算します。

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解像度を参照してください

$\alpha = \dfrac{\ell}{r} = \dfrac{3}{10}$ ラッド。度に変換すると:

$$\begin{array}{rcl} \pi \text{ rad} & \longrightarrow & 180^\circ \\ \dfrac{3}{10} \text{ rad} & \longrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{\frac{3}{10} \times 180^\circ}{\pi} = \frac{54^\circ}{3{,}1416} \approx 17^\circ 11' 19''.$$
12

半径$r = 10$cm、中心角$60^\circ$の円に定義される円弧$\overset{\frown}{AB}$の長さ$\ell$を計算します。

解像度を参照してください

ラジアンに変換すると、中心角 $a\hat{O}b$ は $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ ラジアンになります。それから

$$\alpha = \frac{\ell}{r} \;\Longrightarrow\; \ell = \alpha \cdot r = \frac{\pi}{3} \cdot 10 \approx \frac{31{,}416}{3} \approx 10{,}472 \text{ cm}.$$
13

半径 $r$ の円内で、長さ $\dfrac{2\pi r}{3}$ の円弧を決定する中心角 $a\hat{O}b$ の寸法を計算します。

解答を見る

$\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$ rad、または $120^\circ$

14

半径7cm、中心角4,5radの円に定義される円弧$\overset{\frown}{AB}$の長さ$\ell$を計算します。

解答を見る

$\ell = 31{,}5$cm

15

時を刻む時計の針によって形成される角度の最小値を計算します。 a) 1 h; b) 1 時間 15 分。 c) 1 時間 40 分。

解像度を参照してください

a) 文字盤の数字は円周を12等分し、それぞれ$30^\circ$となります。 1 h では、大きな針は 12 にあり、小さな針は 1 にあります。針は $30^\circ$ の凸角を形成します。

b) 60 分で、小さな針が $30^\circ$ を通過します。 15 分で、角度 $\alpha$ だけ移動します。

$$\frac{\alpha}{15} = \frac{30^\circ}{60} \;\Longrightarrow\; \alpha = 7{,}5^\circ = 7^\circ 30'.$$

1 h 15 min で、大きい手は 3 (1 から $60^\circ$ ) にあり、小さい手は 1 から $\alpha$ に進みました。それらの間の角度は

$$\theta = 60^\circ - \alpha = 60^\circ - 7^\circ 30' = 52^\circ 30'.$$

c) 40 分に、小針は $\beta$ を通過して $\dfrac{\beta}{40} = \dfrac{30^\circ}{60}$、つまり $\beta = 20^\circ$ になります。大きなポインタは、1 (5 分割) から 8、$150^\circ$ にあります。それから

$$\varphi = 150^\circ + \beta = 150^\circ + 20^\circ = 170^\circ,$$

または $\varphi = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$ さえあります。$\gamma = 10^\circ$ は、8 の反対で、小さなポインターが 2 に到達するために必要なものです。

インタラクティブ時計.

16

次の値を読み取る時計の針によって形成される角度の最小値を計算します。 a) 2 h 40 min; b) 5 時間 55 分。 c) 6 時間 30 分。

解答を見る

a) $160^\circ$ · b) $152^\circ 30'$ · c) $15^\circ$

三角関数のサイクル

17

$A$ を分割点の 1 つとして、サイクルを 12 個の等しい部分に分割します。画像が分割点となる番号$x \in [0, 2\pi[$を求めます。

解像度を参照してください

各パーツの寸法は$\dfrac{1}{12} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{6}$で、$P$は$\overset{\frown}{AP} = x$のときの$x$の画像です。このような：

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$x$の画像 $A$ $P_1$ $P_2$ $B$ $P_3$ $P_4$ $A'$ $P_5$ $P_6$ $B'$ $P_7$ $P_8$
$x$ $0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{2\pi}{3}$ $\frac{5\pi}{6}$ $\pi$ $\frac{7\pi}{6}$ $\frac{4\pi}{3}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{5\pi}{3}$ $\frac{11\pi}{6}$
18

$A$ を分割点の 1 つとして、サイクルを 8 個の等しい部分に分割します。画像を分割点とする数値の集合$x \in [0, 2\pi[$を求めます。

答えを見る
$x$の画像 $A$ $P_1$ $B$ $P_2$ $A'$ $P_3$ $B'$ $P_4$
$x$ $0$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{4}$ $\pi$ $\frac{5\pi}{4}$ $\frac{3\pi}{2}$ $\frac{7\pi}{4}$
19

サイクル内の各数字のイメージを示します。 a) $\dfrac{3\pi}{4}$; b) $-\dfrac{5\pi}{4}$; c) $11\pi$; d) $-3\pi$; e) $\dfrac{25\pi}{3}$; f) $-\dfrac{19\pi}{6}$。

解像度を参照してください

a) $\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot 2\pi$: $A$ から、サイクルの $\dfrac{3}{8}$ に等しいルート $\overset{\frown}{AP}$ を反時計回りにマークします。

b) $-\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{5}{8} \cdot 2\pi$: $A$ から時計回りに、サイクルの $\dfrac{5}{8}$ に等しいルートをマークします。

c) $11\pi = \pi + 10\pi$。 $11\pi - \pi$ は $2\pi$ の倍数なので、$11\pi$ と $\pi$ は同じ画像 $A'$ になります。

d) $-3\pi = \pi - 4\pi$。 $(-3\pi) - \pi$ は $2\pi$ の倍数であるため、$-3\pi$ と $\pi$ は同じ画像 $A'$ になります。

e) $\dfrac{25\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{24\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 8\pi$。したがって、$\dfrac{25\pi}{3}$ と $\dfrac{\pi}{3}$ は同じイメージ $P$ を持ち、サイクルの $\dfrac{1}{6}$ に等しいパス $\overset{\frown}{AP}$ を反時計回りにマークすることによって取得されます。

f) $-\dfrac{19\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{24\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} - 4\pi$。したがって、$-\dfrac{19\pi}{6}$ と $\dfrac{5\pi}{6}$ は同じ画像になります。 $\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5}{12} \cdot 2\pi$ のように、イメージはサイクルの $\dfrac{5}{12}$ に等しいパス $\overset{\frown}{AP}$ の反時計回りの終端です。

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20

実数$\dfrac{\pi}{8}$、$\dfrac{11\pi}{8}$、$-\dfrac{3\pi}{8}$、$-\dfrac{7\pi}{8}$、$\dfrac{13\pi}{6}$、$-\dfrac{15\pi}{2}$、$\dfrac{17\pi}{4}$、$-\dfrac{31\pi}{4}$の画像をサイクル内に表示します。

答えを見る

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$\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi$、$-\dfrac{15\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 8\pi$、$\dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 4\pi$、および $-\dfrac{31\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - 8\pi$ に注意してください。

21

サイクル内の数字の集合のイメージを表現する

$$E = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\} \qquad\text{e}\qquad F = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}.$$
解像度を参照してください

$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$の場合:

  • $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}$ (画像 $B$);
  • $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{2}$ (画像 $B'$);
  • $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{2}$ ($B$を繰り返します)。

セット$E$は点$B$と$B'$をイメージとしています。

$x = k \cdot \dfrac{\pi}{2}$の場合:

  • $k = 0 \Rightarrow x = 0$ (画像 $A$); $\;k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}$ (画像 $B$);
  • $k = 2 \Rightarrow x = \pi$ (画像 $A'$); $\;k = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{2}$ (画像 $B'$);
  • $k = 4 \Rightarrow x = 2\pi$ ($A$を繰り返します)。

集合$F$は、点$A$、$B$、$A'$、$B'$を画像として持ちます。

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22

実数の集合のイメージをサイクルで表現します

$$E = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\} \qquad F = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{k\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$$$$G = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{3} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\} \qquad H = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$$
答えを見る

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$E$: 点 $A$ および $A'$。 $F$: $A$ を頂点とする正六角形の頂点。 $G$: $\dfrac{\pi}{3}$ と $\dfrac{4\pi}{3}$ の正反対の画像。 $H$: $\dfrac{\pi}{4}$、$\dfrac{3\pi}{4}$、$\dfrac{5\pi}{4}$、および $\dfrac{7\pi}{4}$ を頂点とする正方形の頂点。