Euler's Eyes
2026-10-22
角度とその測定値
角度は、同じ原点の 2 つの光線の間の「開口部」です。それを測定するために、質問を円弧に移します。角度は、頂点を中心とする円内で決定される円弧と同じように測定されます。
歴史
ユークリッド の原論 (紀元前頃 300) では、平面角を「平面上で交わるが直線ではない 2 本の線の互いに対する傾き」と定義しています。定義は簡単そうに見えますが、ギリシャ人は何世紀にもわたって、 結局のところ、 角度、つまり足して比較できる量とは何なのかを議論しました。形のような品質？それとも 2 つの線の間の関係でしょうか？この論争を語っているのは5 世紀のプロクロスであり、ユークリッドの注釈の中で述べられている。私たちが採用した解決策、つまり頂点を中心とした円の中で決定される円弧によって角度を測定するという方法では、哲学的な疑問は脇に置き、 角度を数値に変換します。
時計の文字盤にも古代のルーツがあります。昼と夜を 12 時間に分割することはエジプト人に由来し、各時間の 60 分はバビロニア人の基準 60 に由来します。しかし、分針が一般的になったのは、クリスティアン・ ホイヘンス が 1656 で初めて意味をなすほど正確な振り子時計を作ってからです。
角度の表記 ユークリッドは「角度$ABC$」を完全に書きました。 「角度」と「直角」の記号は 17 世紀にのみ登場し、2 世紀以上にわたって各著者が独自の記号を使用しました。
- 1618ケプラーは、天文学の縮図 コペルニカナエの中で、直角の記号を使用しています。
- 1634ピエール エリゴーヌは、数学数学の中で「角度」と「直角」の記号を作成しています。彼の本には新しい記号がたくさんあります。
- 1672–1698ウィリアム・ レイボーン、ジョン・ カーシー、 そしてサミュエル・ レイアーは、幾何学と代数学の本の中で他の形式を提案しています。
- 179419 世紀で最も読まれた幾何学の本の 1 つである幾何学の要素のルジャンドル。
- 1827重心計算のメビウス。
- 1847オリバー・ バーンは、ユークリッドの原論を、名前ではなく角度が描かれたカラーで出版しています。
- 1897ジュゼッペ ペアノは、Formulario mathematico ですべての数学表記を標準化しようとしました。
出典: Eudemus (MacTutor) · Euclid (MacTutor) · Aulus Gélio、屋根裏の夜、XIII.5 · Euclid、原論、ブック I、定義 8 · F. Cajori、数学表記の歴史、vol.私(1928)。
日常生活での応用
- マニューバー。 スケートボードやスノーボードでは、マニューバーは角度に基づいて名前が付けられます。180 は半回転、360 は 1 回転、540 は 1 回転半です。
- 空港の滑走路。 敷居に描かれた数字は、滑走路の進行方向を 10 で割ったものです。滑走路 09 は $90^\circ$ (東) を指し、反対側から見ると 27 で、進行方向は $270^\circ$ (西) です。
- テレビ。 画面が視野の $30^\circ$ と $40^\circ$ の間を占めることをお勧めします。したがって、ソファまでの理想的な距離はテレビのサイズによって異なります。
理論
2本の光線の角度
同じ原点 $O$ を持ち、別個で反対ではない 2 つの光線 $Oa$ と $Ob$ を考えます。
- $Oa$ を含む直線は、$Ob$ を含む $\alpha$ と $Ob$ を含まない $\alpha'$ の 2 つの対向する半平面に平面を分割します。
- $Ob$ を含む線は、平面を 2 つの対向する半平面、つまり $Oa$ を含む $\beta$ と $Oa$ を含まない $\beta'$ に分割します。
定義凸角と凹角
- $a\hat{O}b$ の凸角は、半平面$\alpha$と$\beta$の交点：$\;a\hat{O}b = \alpha \cap \beta$です。
- $a\hat{O}b$ の凹角は、半平面$\alpha'$と$\beta'$：$\;a\hat{O}b = \alpha' \cup \beta'$ の出会いです。
定義特定のケース
- $Oa$ と $Ob$ の光線が一致するとヌル角と一回転角の２つの角度が決まります。
- 光線$Oa$と$Ob$ が反対であれば、 2 つの浅い角度が決まります。
角度の測定
角度 $a\hat{O}b$ が与えられると、中心が $O$、半径が $r$ の円を取り、角度の辺が交差する点を $A$ と $B$ とします。各円弧 $\overset{\frown}{AB}$ は 1 つの中心角 $a\hat{O}b$ に対応し、その逆も同様です。
定義角度の測定
私たちは、単位円弧が単位中心角に対応するということに同意します。つまり円弧$\overset{\frown}{AB}$と中心角$a\hat{O}b$ は同じ大きさになります。
- この**$1^\circ$ の角度**は、円上で$\dfrac{1}{360}$に等しい円弧を決める中心角です。
- 1 ラジアン角は、半径と等しい長さの円弧を決定する中心角です。
- $60^\circ$ の角度は、$60^\circ$ の円弧に対応する中心角です。
- $\pi$ rad 角 は、$\pi$ rad の円弧（浅角）に対応する中心角です。
角度 $a\hat{O}b$ をラジアンで測定するには、中心 $O$ と半径 $r$ の円を作成し、円弧 $\overset{\frown}{AB}$ が何ラジアンになるかを確認します。つまり、円弧の長さ $\ell$ を半径で割ります。
性質ラジアン単位の角度
$$\alpha = \frac{\ell}{r} \qquad (\alpha \text{ em radianos}).$$同様に、中心角 $\alpha$ rad の円弧の長さは $\ell = \alpha \cdot r$ です。
例8cmの円弧の角度
中心角 $a\hat{O}b$ によって、半径 $r = 5$ cm の円内に長さ $\ell = 8$ cm の円弧が決まる場合、
$$\alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{8}{5} = 1{,}6 \text{ rad}.$$測定値は選択した円周には依存しません。測定値 $\alpha$ rad の角度 $a\hat{O}b$ が固定され、中心 $O$ と半径 $r_1, r_2, r_3, \ldots$ の円が作成されると、対応する円弧の長さは $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ldots$ になります。
$$\frac{\ell_1}{r_1} = \frac{\ell_2}{r_2} = \frac{\ell_3}{r_3} = \cdots = \alpha.$$比率が半径に依存しないのはなぜですか?
同じ中心を持つ 2 つの円は相似な図形で、一方はもう一方を拡大したもので、比率は$k = \dfrac{r_2}{r_1}$です。拡大では、同じ角度によって決定される円弧を含め、すべての長さが $k$ 倍されます: $\ell_2 = k\,\ell_1$。ロゴ
$$\frac{\ell_2}{r_2} = \frac{k\,\ell_1}{k\,r_1} = \frac{\ell_1}{r_1}.$$時計の角度
文字盤は円を$30^\circ$に12等分したものです。大きな針は $360^\circ$ を 60 分で移動します (1 分あたり $6^\circ$)。小さいものは $30^\circ$ 分で 60 分、つまり 1 分あたり $0{,}5^\circ$ 移動します。これら 2 つの事実により、ポインター間の角度の問題が解決されます。
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