Euler's Eyes
2026-10-22
三角関数のサイクル
三角サイクルは、三角法の「レース トラック」です。つまり、各実数が開始点からのルートとなる半径 1 の円です。次の章のすべての機能がその中に読み込まれます。
歴史
ギリシャとインドの天文学者は、表内の分数を避けるために、大きな半径の円を使用しました。プトレマイオスは半径 60 とアリヤバータ 3438 を使用しました。 半径 1 を決めたのは 18 世紀のオイラーです。つまり、弧の長さはラジアン単位での角度そのものの測定値であり、サインとコサインは線分の長さではなく数値になります。実数直線を円周に巻き付け、一回転よりも大きな負の円弧を許容するというアイデアは、 三角形の三角法を周期関数の理論に変換します。
- スイスで生まれ育つ。13 歳で大学に入り、土曜日ごとにヨハン・ベルヌーイの指導を受ける。
- 船でライン川を下り、馬車でドイツを横断し、リューベックからロシアへ船出する。
- 科学アカデミーで働く。バーゼル問題を解き、ケーニヒスベルクの橋を調べ、右目の視力を失う。
- フリードリヒ 2 世に招かれベルリンのアカデミーへ。『無限解析入門』を出版し、公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を示す。
- エカチェリーナ 2 世に招かれて戻る。ほとんど目が見えなくなっても、1783 年に亡くなるまで論文を口述し続ける。
出典: オイラー (MacTutor) · アリヤバータ (MacTutor)。
日常生活での応用
- 観覧車。 キャビンの高さは、中心の高さに $r \operatorname{sen}\theta$ を加えたものになります。$\theta$ は右端の点から横切った円弧であり、拡張三角関数サイクルです。
- 経度。 グリニッジから東に $190^\circ$ 歩くと、西に $170^\circ$ 歩くのと同じ子午線につながります。名前は異なりますが、一致する円弧です。
- ゲームとアニメーション。 $370^\circ$ 回転するキャラクターは $10^\circ$ 回転するキャラクターと同じ位置にあります。プログラムは、膨大な数が蓄積されないように、角度を 1 回転に「減らして」保ちます。
理論
定義
平面に直交デカルト系 $uOv$ と、中心 $O$ と半径 $r = 1$ の円 $\lambda$ を考えてみましょう。 $\lambda$の長さは$r = 1$なので$2\pi$になります。 $A = (1, 0)$、$B = (0, 1)$、$A' = (-1, 0)$、$B' = (0, -1)$とします。
定義三角関数のサイクル
次のように、各実数 $x$ を $\lambda$ の単一点 $P$ に関連付けます。
- $x = 0$ の場合、$P$ は $A$ と一致します。
- $x > 0$ の場合、$A$ から長さ $x$ のパスを反時計回りに実行し、パスの終点に $P$ をマークします。
- $x < 0$ の場合は、$A$ から長さ $|x|$ のパスを時計回りに実行します。ルートの終点は $P$ です。
$A$ を始点とする円 $\lambda$ は円周 (または円) の三角関数です。 $P$が$x$に関連付けられている場合、$P$ はサイクル内の**$x$ のイメージ**であると言えます。
合同な数
$P$ が数値 $x_0$ の画像である場合、$P$ も数値の画像です。
$$x_0 + 2\pi,\quad x_0 + 4\pi,\quad x_0 + 6\pi,\ \ldots$$そしてまた
$$x_0 - 2\pi,\quad x_0 - 4\pi,\quad x_0 - 6\pi,\ \ldots$$$2\pi$ を加算または減算すると、ルートにラップ全体が追加または削除されるためです。
性質同じイメージを持つ数字
$P$はセットの要素のイメージです
$$\{\,x \in \mathbb{R} \mid x = x_0 + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\,\}.$$定義合同な数
サイクル内に同じ画像 $P$ を持つ 2 つの実数 $x_1 = x_0 + 2k_1\pi$ と $x_2 = x_0 + 2k_2\pi$ ($k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$) は、$k = k_1 - k_2$ で $x_1 - x_2 = 2k\pi$ を満たします。このため、$x_1$ と $x_2$ は一致するモジュール $2\pi$ である 、または単に一致 であると言えます。
例多数の画像を見つける
$\dfrac{25\pi}{3}$をマークするには、$\dfrac{25\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{24\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 8\pi$と書きます。 $8\pi$ は 4 で完全に回転するため、$\dfrac{25\pi}{3}$ と $\dfrac{\pi}{3}$ は一致しており、同じイメージ ($A$ から反時計回りのサイクルの $\dfrac{1}{6}$ の点) を持ちます。
このセクションの演習は、章リスト.