サインやコサインについて話す前に、円周の測定方法を知る必要があります。これにはバビロニア人から受け継いだ度と、 半径そのもので弧を測るラジアンという2つの物差しがあります。

歴史

円周を分割すると、 360パーツ 天文学に由来する メソポタミア、これは 60 進数で数えられ、約 360 日で空を横切る太陽に従います。紀元前2世紀に、 ニカイアのヒッパルコス コード表に 360 度を採用し、 プトレマイオス、 で アルマゲスト (西暦 150 年頃)、各度を 60 分に、各分を 60 秒に分割しました。 主要議事録パーツ そして 二次的 分と秒に名前を付けた人。

半径を単位として円弧を長さで測るという考え方は、もっと最近になって行われたものです。英国人のロジャー コーツは、1714 でこれが角度の「自然な」単位であることに気付き、レオンハルト オイラーは無限分析の入門 (1748) でこれを体系的に使用し、半径 1 の円に取り組みました。このラジアンという言葉は、ケルビン卿の弟である技師ジェームズ・ トムソンが作成した試験問題の1873でのみ印刷されていました。

ニカイアのヒッパルコス (紀元前 190 ～ 120 頃)、後の芸術的表現。彼らの文字列テーブルはすでに 360 度を使用していました。
ニカイアのヒッパルコス (紀元前 190 ～ 120 頃)、後の芸術的表現。彼らの文字列テーブルはすでに 360 度を使用していました。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
  1. c. 1800 a.C.
    バビロニア人はベース60で計算し、60分と60秒で残された遺産です。
  2. 世紀。 II 紀元前
    ヒパルコスは、最初のコード表で 360 度を使用します。
  3. c. 150
    プトレマイオスはアルマゲストで次数を分と秒に分けています。
  4. 1714
    ロジャー・ コーツは、半径が角度の自然な単位であることに気づきました。
  5. 1748
    はじめにでは、オイラーは半径1の円上で動作します。
  6. 1873
    ジェームズ・トムソンの校正刷りにはラジアンという単語が印刷物に登場します。

言葉 三角法は、ギリシャ語の「三角形」を意味するtrígōnonと「測る」を意味するメトロンを組み合わせたものです。プトレマイオスは円周の 360 個の部分をそれぞれモイーラ (μοῖρα、「部分」) と呼びました。 モエラの 60 番目の部分は、陽子ヘシェコストン、「最初の 60 番目」、そしてその 60 番目の重陽子ヘシェコストン、「2 番目の 60 番目」でした。ラテン語の翻訳者は、これらの名前を gradus (「ステップ」)、pars minuta prima (「最初の小さな部分」)、pars minuta secunda として翻訳しました。そこから短縮されて、学位、分と秒です。

ポルトガル語 英語 ラテン プトレマイオスのギリシャ語
程度 学位 大学院生 モイラ
分 分 パース ミヌタ プリマ プロトン ヘシェコストン
2番 2 番目 2 分 重陽子ヘクセコスト

兆候 $^\circ$, $'$ そして $''$ 解決するまでに時間がかかりました。 16 世紀、各​​著者は独自の方法で度、分、秒を書きました。カレンダーにはさまざまな形式があります レギオモンタヌス (1473)、で 実用的な算数 の オロンセ・フィーネ (1535) の算術書に ジェンマ・フリシウス (1539) と 新しいステラから の ティコ・ブラーエ (1573)、彼が 1572 年に観察した新しい星について。

出典: Roger Cotes (MacTutor) · Hiparchus (MacTutor) · Ptolemy (MacTutor) · F. Cajori、数学表記の歴史、vol. II (1929)。

日常生活での応用

  • ナビゲーションと地図。 緯度と経度は度、分、秒で表示されます。$23^\circ 33'$ S はサンパウロのおおよその緯度です。
  • ホイールとギア。 半径 $r$ のホイールは、$\theta$ ラジアンの角度を回転させ、エッジ上の点を正確に $\theta \cdot r$ に移動させます。
  • 電卓とコンピュータ。 プログラミング言語の関数 sin、cos、tan はラジアンで動作します。電卓では、DEG モードでは度が使用され、RAD モードではラジアンが使用されます。

出典: ロジャー コーツ (MacTutor) · ヒパルコス (MacTutor) · プトレマイオス (MacTutor)。

度、分、秒での緯度: 都市を選択すると、赤道までの距離が表示されます。

理論

円周円弧

定義円周円弧

円上の 2 つの異なる点 $A$ と $B$ により、円が 2 つの部分に分割されます。 $A$と$B$を含むこれらの各部分は、$\overset{\frown}{AB}$ の円弧です。

$A$ と $B$ が一致した場合、2 つの円弧も決定されます。そのうちの 1 つは点自体であり、ヌル円弧と呼ばれます。もう 1 つは一周円弧と呼ばれる全周です。

左側では、2 つの端の円弧 $A$ と $B$。右側では、$A = B$ がヌル円弧と 1 回転の円弧を決定します。

円弧の測定

2 つの円弧 $\overset{\frown}{AB}$ と $\overset{\frown}{CD}$ の「大きさ」を比較するには、 円弧を測定する方法が必要です。

定義円弧の測定

ユニタリ円弧$u$(ヌルではなく、$\overset{\frown}{AB}$と同じ半径) に対する円弧$\overset{\frown}{AB}$ の測定値は、円弧$\overset{\frown}{AB}$ の中に円弧$u$ が何倍収まるかを表す実数です。

$u$ が $\overset{\frown}{AB}$ の 6 倍に適合する場合、$\overset{\frown}{AB} = 6 \cdot u$ と書き、$\overset{\frown}{AB}$ の尺度は 6 になります。

ユニタリ円弧 $u$ は円弧 $\overset{\frown}{AB}$ に 6 回収まります。

単位: 度およびラジアン

各人が自分の単位 $u$ を選択した場合、同じ円弧でも異なる測定値が得られます。そのため、アーク ユニットは 2 つだけ使用します。

定義度数とラジアン

  • 度 (記号$^\circ$) は、測定された円弧を含む円の$\dfrac{1}{360}$に等しい単位円弧です。
  • ラジアン (rad記号) は、 測定された円弧を含む円の長さが半径に等しい単位円弧です。

$\overset{\frown}{AB}$ が 1 rad を測定すると言うことは、円弧を「伸ばす」ことによって、半径に等しい長さのセグメントが得られることを意味します。

角度コントロールを動かします。破線は 1 rad、2 rad、3 rad… を示します。半径は円周の 6 倍をわずかに超えます。半径を変更しても測定値は変わりません $\alpha = \ell / r$。

円は何ラジアンですか?

円周が$360^\circ$であることがわかります。何ラジアンを測定するかは、もはやそれほど明白ではありません。構造は次のようなアイデアを与えます。

  1. 中心$O$、半径$r$の円に正六角形$ABCDEF$を内接します。各辺の寸法は $r$: $\overline{AB} = \overline{BC} = \cdots = \overline{FA} = r$ です。
  2. 円は 6 個の等しい円弧 $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \cdots = \overset{\frown}{FA}$ に分割されます。円弧は常に文字列よりも長いため、これらの円弧はそれぞれ 1 rad を超えます。
  3. それぞれが 1 rad — $\overset{\frown}{AB'} = \overset{\frown}{BC'} = \cdots = \overset{\frown}{FA'} = 1$ rad — に「適合」しますが、まだ 1 ラジアンの一部が残っています。
  4. したがって、ラジアンは円周上で 6 倍に適合し、これら 6 つの「残り」の合計がまだ存在します。
内接する正六角形の各辺の長さは $r$ です。対応する円弧は弦より大きいため、1 rad より少し大きくなります ($B'$、$C'$、… まで)。

より正確には、円周は $6{,}283185\ldots$ rad であることが示されています。この数値は $2\pi$ です。ここで、$\pi = 3{,}14159\ldots$ は円の長さとその直径の比です。長さは $2\pi r$ で、半径はその中に正確に $2\pi$ 倍収まります。

まとめ単位換算

$$360^\circ \;\longleftrightarrow\; 2\pi \text{ rad} \qquad\qquad 180^\circ \;\longleftrightarrow\; \pi \text{ rad}$$

変換するには、$180^\circ \leftrightarrow \pi$ rad から始まる 3 つの規則だけです。

$$x \text{ (rad)} = \frac{\pi}{180} \cdot g \text{ (graus)} \qquad\qquad g \text{ (graus)} = \frac{180}{\pi} \cdot x \text{ (rad)}.$$

特に$1 \text{ rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ 17' 44''$。

学位 $0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$ $90^\circ$ $180^\circ$ $270^\circ$ $360^\circ$
ラジアン $0$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\pi$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $2\pi$

注意分と秒

度は$60'$(分)、分は$60''$(秒)に分けられます:$1^\circ = 60'$と$1' = 60''$。したがって、$30' = 0{,}5^\circ$。 $22^\circ 30'$ のような円弧をラジアンに変換するには、すべてを最小単位 ($1350'$) で記述し、$180^\circ = 10\,800'$ と比較します。

このセクションの演習は、章リスト.