逆サイン、逆余弦、逆正接 (第 VII 章)。
Teste 158MACK-74
$f$、$g$、$h$ を $A$ の $A$ の関数とします。$A = [-1, 1]$ は、$f(x) = \operatorname{sen} x$、$g(x) = \operatorname{sen}\pi x$、$h(x) = \frac{\pi}{2}x$ のように定義されます。次のように言えます。
$f$ ($[-1, 1]$ の正弦) は単射的で、イメージは $[-\operatorname{sen} 1, \operatorname{sen} 1]$ です。 $g(x) = \operatorname{sen}\pi x$ にはイメージ $[-1, 1]$ (全射的) がありますが、単射的 ($g(0) = g(1) = 0$) ではありません。 $h$ は単射的であり、そのイメージ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ は $A$ にも当てはまりません。 $g$のみ全射的です。印刷されたテンプレートは (e) を示していますが、3 つのどれも $A$ 内の $A$ のインジェクターとサージェクターの両方ではありません。本当の記述は (d) です。
Teste 159MACK-73
$y = \operatorname{arc\,sen}\sqrt{2x - 3}$ で定義される関数の定義域は次のとおりです。
ルートには $2x - 3 \ge 0$ が必要で、アークサインには $\sqrt{2x - 3} \le 1$: $0 \le 2x - 3 \le 1$、つまり $\frac{3}{2} \le x \le 2$ が必要です。
Teste 160MACK-77
$\operatorname{arc\,sen}\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right)$ の値は次のとおりです。
$\cos\frac{33\pi}{5} = \cos\frac{3\pi}{5} = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right) = \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{10}\right)$、$-\frac{\pi}{10}$は$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$にあります。
Teste 161MACK-74
$\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ の値は次のとおりです。
$\operatorname{arc\,sen}\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$ e $\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
Teste 162PUC-71
円弧の決定は $0$ と $\frac{\pi}{2}$ の間であるため、式 $y = \operatorname{sen}\left(\operatorname{arc\,sen}\dfrac{1}{1 + a^2} + \operatorname{arc\,cos}\dfrac{1}{1 + a^2}\right)$ の値は次のようになります。
すべての $u \in [-1, 1]$、$\operatorname{arc\,sen} u + \operatorname{arc\,cos} u = \frac{\pi}{2}$。次に$y = \operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$。
Teste 163ITA-72
すべての $\alpha$ および $\beta$ について、$|\beta| < 1$ を含む式 $\operatorname{tg}(\operatorname{arc\,tg}\alpha + \operatorname{arc\,sen}\beta)$ は次と等しくなります。
と $\operatorname{tg} A = \alpha$ そして $\operatorname{tg} B = \frac{\beta}{\sqrt{1 - \beta^2}}$: $\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\alpha\sqrt{1 - \beta^2} + \beta}{\sqrt{1 - \beta^2} - \alpha\beta}$、表示されません。印刷されたテンプレートは (a) を示していますが、たとえば、 $\alpha = 1$, $\beta = 0$: $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, 一方、(a) は次のようになります。 $-1$.
Teste 164PUC-70
$2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7}$ は次と同じです:
これは、269: $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}$ と $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{7}\right) = \frac{3/4 + 1/7}{1 - 3/28} = 1$、0 と $\frac{\pi}{2}$ の間の合計の演習です。
Teste 165LINS-67
閉区間 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内の $\operatorname{arc\,sen} x$ の変動を認めると、方程式 $\operatorname{arc\,sen} x = 2\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2}$ の解は次のようになります。
$2\operatorname{arc\,sen}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$、および $\operatorname{arc\,sen} x = \frac{\pi}{3} \iff x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (選択肢には表示されません)。
Teste 166MACK-75
$\operatorname{arc\,sen} 2x - 3\operatorname{arc\,sen} x = 0$ のソリューション セットには次のものがあります。
$\theta = \operatorname{arc\,sen} x$の場合: $3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$と$2x = \operatorname{sen} 3\theta = 3x - 4x^3$、つまり$x(1 - 4x^2) = 0$が必要です。 3 つのルート $0$ と $\pm\frac{1}{2}$ は問題ありません ($\theta = \pm\frac{\pi}{6}$ からは $3\theta = \pm\frac{\pi}{2} = \operatorname{arc\,sen}(\pm 1)$ が得られます)。
Teste 167VALEPARAIBANA-72
方程式 $\operatorname{arc\,tg}\left(\dfrac{1 + e^x}{2}\right) + \operatorname{arc\,tg}\left(\dfrac{1 - e^x}{2}\right) = \dfrac{\pi}{4}$ を解くと、次の結果が得られます。
$A = \frac{1 + e^x}{2}$と$B = \frac{1 - e^x}{2}$、$A + B = 1$と$\operatorname{tg}(\operatorname{arc\,tg} A + \operatorname{arc\,tg} B) = \frac{1}{1 - AB} = 1 \Rightarrow AB = 0 \Rightarrow e^{2x} = 1 \Rightarrow x = 0$です。 $\operatorname{arc\,tg} 1 + \operatorname{arc\,tg} 0 = \frac{\pi}{4}$にチェックを入れてください。
Teste 168MACK-76
$f(x) = \operatorname{arc\,sen} x$ と $g(x) = 1 + \operatorname{cotg}^2 x$ であるため、$(g \circ f)\left(\frac{1}{3}\right)$ の値は次のようになります。
$g(f(x)) = 1 + \operatorname{cotg}^2(\operatorname{arc\,sen} x) = \operatorname{cossec}^2(\operatorname{arc\,sen} x) = \frac{1}{x^2}$; $x = \frac{1}{3}$ の場合、9 の価値があります。
Teste 169ITA-71
$[\log_e(\operatorname{sen} x)]^2 - \log_e(\operatorname{sen} x) - 6 = 0$の方程式を考えてみましょう。方程式の解は次の式で与えられます。
$L = \log_e(\operatorname{sen} x)$の場合：$L^2 - L - 6 = 0 \Rightarrow L = 3$または$L = -2$。 $\operatorname{sen} x \le 1$、$L \le 0$ のように。 $\operatorname{sen} x = e^{-2}$、つまり $x = \operatorname{arc\,sen}\frac{1}{e^2}$ が残ります (同じ正弦の円弧を差し引いたもの)。
Teste 170ITA-75
$S = \log_3(\operatorname{tg} x_1) + \log_3(\operatorname{tg} x_2) + \log_3(\operatorname{tg} x_3) + \cdots$ とします。ここで、$x_1 = \frac{\pi}{3}$ と $x_{n+1} = \operatorname{arc\,tg}\sqrt{\operatorname{tg} x_n}$、$n = 1, 2, 3, \ldots$ これらの条件下では、次のことが保証されます。
$\operatorname{tg} x_1 = \sqrt{3} = 3^{1/2}$、各接線は前の接線の平方根です: $\operatorname{tg} x_n = 3^{1/2^n}$。次に$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$。
Teste 171ITA-72
$0 < x < \frac{\pi}{2}$ である関数 $S(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(\operatorname{sen} x)^n$ を考えてみましょう。 $x$ のどの値に対して $10 \le S(x) \le 20$ があるでしょうか?
$s = \operatorname{sen} x \in\, ]0, 1[$ の場合、等比級数の合計は $S = \frac{s}{1 - s}$ になります。 $10 \le \frac{s}{1 - s} \le 20 \iff \frac{10}{11} \le s \le \frac{20}{21}$、逆正弦が増加すると、(c) が得られます。
