直角三角形とその他の三角形: 三角比、サインとコサインの法則 (第 IX 章と第 X 章)。
Teste 189CESCEA-74
以下の直角三角形のうち、正しいデータを示すものは 1 つだけです。マークしてください:
(c) では、$\cos 60^\circ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$: 隣接する辺は斜辺の半分です。 (a) では、$30^\circ$ に隣接する辺は $4\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}$ になります。 (b) 辺 $\sqrt{3}$ の反対側の角度は接線 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ を持ち、寸法は $30^\circ$ です。 (d) では、角度 $45^\circ$ の三角形の辺は等しくなります。
Teste 190CESCEM-75
$A$ 内の長方形である三角形 $ABC$ を、$a = 7{,}5$ m、$b = 4{,}5$ m、および $c = 6$ m で、$x$ が頂点 $B$ での角度であると考えると、$\operatorname{tg} x$ は次と等しいと言えます。
$x$ は $B$ での角度です。反対側は $b = 4{,}5$ で、隣接する側は $c = 6$: $\operatorname{tg} x = \frac{4{,}5}{6} = 0{,}75$ です。
Teste 191CESCEA-77
三角形$ABC$には、$A$、$BC = 10$、$\cos\alpha = \frac{3}{5}$の長方形が与えられ、$\alpha$が$B$の角になります。脚の合計は次のようになります。
$AB = BC\cos\alpha = 10 \cdot \frac{3}{5} = 6$ および $AC = BC\operatorname{sen}\alpha = 10 \cdot \frac{4}{5} = 8$;合計は14です。
Teste 192MACK-77
図では、長方形の高さは 50 です。左下隅から$A$に向かう直線が底辺で$60^\circ$を形成し、左上隅から$A$に向かう直線が上辺で$30^\circ$を形成します。 $A$は$B$に対して垂直です。 $AB$ の価値:
長方形の幅を$w$、$h = AB$とします。左下隅の$60^\circ$の角度により、$h = w\sqrt{3}$;左上の$30^\circ$の角度で$h - 50 = \frac{w}{\sqrt{3}}$。 $w\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 50$、$w = 25\sqrt{3}$、$h = 75$を引きます。
Teste 193EPUSP-66
$\overline{AB}$ は直角三角形 $ABC$ の斜辺です。中央値 $\overline{AD}$ の測定値は 7、中央値 $\overline{BE}$ の測定値は 4 です。 $\overline{AB}$ の長さは次のとおりです。
$C$ が直角、辺が $a = BC$ と $b = AC$ の場合: $AD^2 = b^2 + \frac{a^2}{4} = 49$ と $BE^2 = a^2 + \frac{b^2}{4} = 16$。 $\frac{5}{4}(a^2 + b^2) = 65$、$AB^2 = a^2 + b^2 = 52$、$AB = 2\sqrt{13}$を追加します。
Teste 194GV-70
三角形 $ABC$ では、$\hat{A} = 90^\circ$、$\hat{B} = 60^\circ$、$AB = 50$ cm であることがわかります。次に、セグメント $\overline{AC}$ は次のことを測定します。
$AC$ は $\hat{B}$ の反対側: $AC = AB\operatorname{tg} 60^\circ = 50\sqrt{3}$ cm です。
Teste 195CESCEM-76
身長1,70メートルの人は、水平線に対して$\alpha$の角度で木のてっぺんを観察します。 $b$は目から胴体までの水平距離、$a$は目から頭頂部までの距離です。木の高さをおおよそ知るには、次のように 1,70 m を追加する必要があります。
目の高さより上の高さは、隣接する脚の三角形 $b$ の反対側の脚 $\alpha$ (水平距離): $b\operatorname{tg}\alpha$ です。目の高さに1,70mを加えます。
Teste 196CESCEA-76
図中、$ABC$は$B$内の長方形、$D$は$A$と$B$の間、$AD = d$、$BC = h$、$C\hat{A}D = \alpha$、$C\hat{D}B = \beta$です。それから：
直角三角形 $ABC$ と $DBC$ の場合: $AB = h\operatorname{cotg}\alpha$ と $DB = h\operatorname{cotg}\beta$。次に$d = AB - DB = h(\operatorname{cotg}\alpha - \operatorname{cotg}\beta)$。
Teste 197CESCEA-73
三角形$ABC$の中には、$b = 2$、$\hat{B} = 45^\circ$、$\hat{C} = 60^\circ$があります。次に、$a$ 側は次のように測定します。
$\hat{A} = 75^\circ$、そして正弦の法則によれば、$a = \frac{b\operatorname{sen}\hat{A}}{\operatorname{sen}\hat{B}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3} + 1$。
Teste 198CESCEM-72
一方の辺が 1 の価値があり、もう一方の辺が $\operatorname{tg}\varphi$ の価値がある直角三角形では、斜辺の価値は次のとおりです。
斜辺は$\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\varphi} = \sqrt{\sec^2\varphi} = |\sec\varphi|$です(長さは常に正です)。
Teste 199GV-73
$A$ の長方形、斜辺 $a$、脚 $b = AC$、$c = AB$ を持つ三角形 $ABC$ を考え、その面積を $S$ で示します。正しいステートメントを選択してください:
$\frac{a^2\operatorname{sen} 2\hat{B}}{4} = \frac{(a\operatorname{sen}\hat{B})(a\cos\hat{B})}{2} = \frac{b \cdot c}{2} = S$。他は間違っています: $\operatorname{tg}\hat{C} = \frac{c}{b}$、$c = a\operatorname{sen}\hat{C}$、$S = \frac{b^2\operatorname{tg}\hat{C}}{2}$、$\cos\hat{B} = \frac{c}{a}$。
Teste 200ITA-75
図中、$c$は半径$R$の円、$r$と$s$は$O$で交わる円の接線、$T$は$s$と$OT = 2R$の接点です。次に、直線 $r$ と $s$ の角度 $\alpha$ をチェックします。
円の中心は角度$\alpha$:$\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$の角の二等分線にあります。次に$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$、つまり$\operatorname{sen}\alpha = \frac{4}{5}$と$\cos\alpha = \frac{3}{5}$です。
Teste 201SANTA CASA-73
中心 $O$、半径 $R$ の円では、測定弦 $\frac{3R}{2}$ によって中心角 $\alpha$ が決まります。 $\alpha$ に関しては、次のことが言えます。
測定弦 $\frac{3R}{2}$ は中心角 $\alpha$ の範囲を定めます: $\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2} = \frac{3R/4}{R} = \frac{3}{4}$、$\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$、および $\operatorname{sen}\alpha = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$。 (本書では、選択肢には d なしの a、b、c、e というラベルが付けられており、テンプレートでは d が示されています。正しい値は 3 番目の選択肢の値です。)
Teste 202MAUÁ-68
三角形$ABC$では$2\operatorname{tg}\hat{A} = \operatorname{tg}\hat{B} + \operatorname{tg}\hat{C}$と$0 < \hat{A} < \frac{\pi}{2}$とする。この三角形では、次の関係が適用されます。
三角形(直角なし)では$\operatorname{tg}(\hat{B} + \hat{C}) = -\operatorname{tg}\hat{A}$なので$\operatorname{tg}\hat{A} + \operatorname{tg}\hat{B} + \operatorname{tg}\hat{C} = \operatorname{tg}\hat{A}\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{C}$。 $\operatorname{tg}\hat{B} + \operatorname{tg}\hat{C} = 2\operatorname{tg}\hat{A}$の場合は$3\operatorname{tg}\hat{A} = \operatorname{tg}\hat{A}\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{C}$、$\operatorname{tg}\hat{A} \ne 0$の場合は$\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{C} = 3$となります。
Teste 203ITA-77
内角 $\hat{A}$、$\hat{B}$、および $\hat{C}$ が関係 $\operatorname{sen}\hat{A} = \operatorname{tg}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2}$ を証明する三角形 $ABC$ について考えます。したがって、次のように言えます。
$\operatorname{tg}\frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = \operatorname{cotg}\frac{\hat{A}}{2}$。次に$2\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}\cos\frac{\hat{A}}{2} = \frac{\cos(\hat{A}/2)}{\operatorname{sen}(\hat{A}/2)} \Rightarrow \operatorname{sen}^2\frac{\hat{A}}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{A} = \frac{\pi}{2}$。
Teste 204GV-73
三角形 $ABC$ では、角度 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ はそれぞれ $60^\circ$ と $45^\circ$ を測定します。辺$\overline{BC}$の寸法は$5\sqrt{6}$cmです。したがって、辺 $\overline{AC}$ の寸法は次のようになります。
正弦の法則により、$AC = \frac{BC\operatorname{sen}\hat{B}}{\operatorname{sen}\hat{A}} = \frac{5\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{\frac{12}{3}} = 10$ cm。
Teste 205ITA-73
船は直線的に航行し、点$A$、$B$、$C$を順に通過します。船が$A$にあるとき、船長はビーコン$L$を観測し、角度を計算します$L\hat{A}C = 30^\circ$。 4 マイルを $B$ まで移動した後、$L\hat{B}C = 75^\circ$ の角度を確認してください。灯台と地点$B$は何マイル離れていますか?
三角形 $ABL$ では、$A$ の角度は $30^\circ$ を測定し、$B$ の角度は $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ を測定します。したがって、$L$ の角度は $45^\circ$ を測定します。正弦の法則により、$LB = \frac{AB\operatorname{sen} 30^\circ}{\operatorname{sen} 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}$。
Teste 206MACK-76
図では$\overline{AC} \perp \overline{CB}$、$\overline{AD} \perp \overline{DC}$、$m(D\hat{A}C) = m(A\hat{B}C) = \beta$、$AB = a$です。 $AD$ の値は、$a$ と $\beta$ の関数として次のようになります。
三角形 $ACB$ の場合、$C$ の長方形: $AC = a\operatorname{sen}\beta$。三角形 $ADC$、長方形 $D$、角度 $\beta$ の $A$: $AD = AC\cos\beta = a\operatorname{sen}\beta\cos\beta = \frac{1}{2}a\operatorname{sen} 2\beta$。
Teste 207ITA-74
$A$から$40\sqrt{2}$km南東にある地点$B$までの鉄道接続点$A$を建設することが望まれています。 $A$ と $B$ がある平地には湖があり、直線での建設を妨げています。湖を迂回するために、道路は $A$ の東 36 km、南 27 km にある点 $C$ を頂点とする 2 直線セクションで建設されます。セクション $\overline{CB}$ の長さは次のとおりです。
$A$ を原点、軸 $x$ を東、$y$ を北にすると、$B = (40, -40)$ (南東方向の $40\sqrt{2}$ km) と $C = (36, -27)$ になります。次に$CB = \sqrt{4^2 + 13^2} = \sqrt{185}$km。
Teste 208EPUSP-66
三角形の各辺の比率は $6 : 8 : 9$ です。それから：
最長辺の正方形 $9^2 = 81$ は $6^2 + 8^2 = 100$ より小さく、三角形は鋭角です (演習 372)。
Teste 209FFCLUSP-67
線分 $\overline{AC}$ と $\overline{BC}$ および角 $\hat{B}$ が与えられると、次の場合に、辺として $\overline{AC}$ および $\overline{BC}$ を持ち、$\overline{AC}$ に隣接しない角として $\hat{B}$ を持つ三角形を構築することが可能です。
角$\hat{B}$の反対側の辺$AC$とそれに隣接する辺$BC$という曖昧な場合です。 $AC > BC$ の場合、$\hat{B}$ が ($0 < \hat{B} < \pi$ を含む) に関係なく、常に (単一の) 三角形が存在します。他の条件では、三角形が存在しない可能性があります。
Teste 210ITA-75
不等辺三角形 $ABC$ において、角 $\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$ の反対側の辺は、それぞれ $a$、$b$、$c$ となります。この場合、式 $a\operatorname{sen}(\hat{B} - \hat{C}) + b\operatorname{sen}(\hat{C} - \hat{A}) + c\operatorname{sen}(\hat{A} - \hat{B})$ は次のいずれかの選択肢を満たす値を持ちます。
練習問題399の関係Iです:$a = 2R\operatorname{sen}(\hat{B} + \hat{C})$などでは、各項は正弦の二乗の差となり、その和はゼロになります。
Teste 211GV-75
単位半径の円に内接する正八角形の辺は$\sqrt{2 - \sqrt{2}}$です。 $\cos\frac{\pi}{8}$ には次のような価値があると結論付けることができます。
八角形の辺は$45^\circ$:$2\operatorname{sen}\frac{\pi}{8} = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$の弦です。次に$\operatorname{sen}^2\frac{\pi}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$、$\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$、$\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$となります。
Teste 212MACK-74
高さ $\overline{AB}$ の 3 倍である長方形の底辺 $\overline{AD}$ は、点 $M$ と $N$ によって同じサイズの 3 つの部分に分割されます。これらの条件下では、$A\hat{M}B + A\hat{N}B + A\hat{D}B$ は次と等しくなります。
高さ$AB = h$の場合：$AM = h$、$AN = 2h$、$AD = 3h$。続いて$A\hat{M}B = 45^\circ$、$\operatorname{tg} A\hat{N}B = \frac{1}{2}$、$\operatorname{tg} A\hat{D}B = \frac{1}{3}$。 $\operatorname{arc\,tg}\frac{1}{2} + \operatorname{arc\,tg}\frac{1}{3} = 45^\circ$ (演習 268) のように、合計は $90^\circ$ になります。
Teste 213ITA-75
$ABCD$を円に内接する凸四角形とする。 $\hat{A} = 2\hat{C}$、$\hat{B} > \hat{D}$、$\operatorname{tg}\hat{B}\operatorname{tg}\hat{D} + \operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{C} = -\frac{9}{4}$ であることがわかります。この場合、$\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$、$\hat{D}$の値はそれぞれ次のようになります。
内接四角形には$\hat{A} + \hat{C} = 180^\circ$と$\hat{B} + \hat{D} = 180^\circ$が入ります。 $\hat{A} = 2\hat{C}$の場合：$\hat{C} = 60^\circ$、$\hat{A} = 120^\circ$、$\operatorname{sen}\hat{A}\operatorname{sen}\hat{C} = \frac{3}{4}$。 $\operatorname{tg}\hat{D} = -\operatorname{tg}\hat{B}$ のように: $-\operatorname{tg}^2\hat{B} + \frac{3}{4} = -\frac{9}{4}$、$\operatorname{tg}^2\hat{B} = 3$; $\hat{B} > \hat{D}$、$\hat{B} = 120^\circ$、$\hat{D} = 60^\circ$。
Teste 214ITA-77
$A$、$B$、および $C$ を直線上の 3 つの異なる点とし、$B$ が $A$ と $C$ の間にあるとします。 $a$ と $b$ ($a > 2b$) をそれぞれ $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ の長さとします。線分$\overline{BD}$が線分$\overline{AC}$に垂直な場合、角度$B\hat{D}C$が$B\hat{D}A$の半分になるように$BD = x$はどのくらい測定する必要がありますか?
$BD = x$と$B\hat{D}C = \theta$の場合：$\operatorname{tg}\theta = \frac{b}{x}$と$\operatorname{tg} 2\theta = \frac{a}{x}$。二重円弧により、$\frac{a}{x} = \frac{2b/x}{1 - b^2/x^2}$、すなわち、$a - \frac{ab^2}{x^2} = 2b$、$x^2 = \frac{ab^2}{a - 2b}$、$x = \frac{ab}{\sqrt{a(a - 2b)}}$となります。
Teste 215ITA-77
平行四辺形$ABCD$の対角線$\overline{BD}$と辺$\overline{BC}$の長さをそれぞれ$d$と$L$とする。対角線 $\overline{BD}$ は、$\overline{BC}$ と角度 $\alpha$ を形成し、$\overline{BA}$ と角度 $\beta$ を形成します。辺 $\overline{AB}$ の長さ $x$ は次の式で求められます。
三角形 $ABD$ 内: $AB = x$、$BD = d$、$A\hat{B}D = \beta$、$A\hat{D}B = D\hat{B}C = \alpha$ (内部交互、$AD \parallel BC$)。ロゴ$B\hat{A}D = \pi - (\alpha + \beta)$。正弦の法則により、$\frac{x}{\operatorname{sen}\alpha} = \frac{d}{\operatorname{sen}(\alpha + \beta)}$。
