书籍

每本书都包含讲解和例题解答,按章节编排,便于按顺序阅读。

数学史

想法背后的人。伟大数学家的一生以及他们留下的发现,一步步演绎。

270 页 · 26 章

最近的帖子

数学史 · 柯西:分析的严格化

图片来源

历史图片与照片 全部来自维基共享资源(Wikimedia Commons)。我们使用共享资源提供的文件或缩略图,最大缩小到 800 像素宽,未作其他编辑。 奥古斯丁-路易·柯西像,鲁道夫·霍夫曼根据贝尔奇的照片所作的石版画(1856):原始页面 · 公有领域。 柯西油画像,约 …

数学史 · 柯西:分析的严格化

柯西的遗产

柯西是个疯子,和他打交道毫无办法;可是如今,他是唯一懂得数学应该怎样做的人。 — 尼尔斯·亨里克·阿贝尔,致霍尔姆伯的信(1826) 柯西发表了大约 800 篇论文和七部著作。法国科学院编辑的《柯西全集》从 1882 年到 1974 年陆续出版,共 27 厚卷。在数学家当中,只有 …

数学史 · 柯西:分析的严格化

弹性固体中的应力

柯西从来没有停止当一名工程师。1822 年,克洛德-路易·纳维向科学院提出了一个基于分子间作用力的弹性固体理论,而奥古斯丁·菲涅耳正在把光解释为一种弹性介质,即以太的横向振动。柯西是两人在科学院的同事,密切关注着这些工作。1822 年 9 月 30 日,他向科学院宣布了一个全新的 …

数学史 · 柯西:分析的严格化

复平面上的积分

十八世纪末,欧拉和拉普拉斯用一个大胆的技巧计算困难的实积分:把实变量换成复变量,算完之后再回到实数。拉普拉斯称之为“从实到虚的过渡”。结果都对得上,但没有人能说清楚这个技巧何时合法。正是为了回答这个问题,25 岁的柯西在 1814 年向科学院提交了一篇关于定积分的论文。这篇论文直 …

数学史 · 柯西:分析的严格化

导数与积分

《分析教程》出版两年后,柯西发表了《皇家综合理工学院无穷小计算教程概要》(1823)。他用四十节简短的课,以极限概念重建了微分学和积分学。这在本质上就是今天微积分教科书依然遵循的提纲。 导数 对拉格朗日来说,$f$ 的导数是 $f(x + i)$ 的幂级数中 $i$ 的系数。柯西 …

数学史 · 柯西:分析的严格化

柯西不等式

1821 年的《分析教程》以九则注记收尾,这是一种附录,收录柯西不想放进正文的结果。第二则注记讨论不等式,里面有两颗每个奥数学生都熟悉的明珠。 不等式 柯西的定理说,对任意实数 $a_1, \ldots, a_n$ 和 $b_1, \ldots, b_n$, $$(a_1 b_1 …