以阿涅西命名的曲线并不是她发现的。但这条曲线正是通过她的书而出名的，因为她用它作例子，说明怎样从几何作图得到方程，而这正是笛卡儿的新方法所许诺的。中文里，这条曲线通常叫作箕舌线。

作图

先画一个直径 $OM = a$ 的圆，$O$ 在下，$M$ 在上，再画出圆在 $M$ 点的切线。然后：

  1. 在切线上任取一点 $N$；
  2. 画直线 $ON$，它与圆交于点 $A$；
  3. 曲线上的点 $P$ 位于过 $N$ 的竖直线和过 $A$ 的水平线上。

让 $N$ 沿切线移动，点 $P$ 就画出一条钟形曲线：

方程

把 $O$ 放在原点，$y$ 轴沿着直径。圆心为 $\left(0, \frac{a}{2}\right)$，半径为 $\frac{a}{2}$，即

$$x^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = ay.$$

$M$ 点的切线是直线 $y = a$，点 $N$ 为 $(n, a)$。直线 $ON$ 上的点形如 $(tn, ta)$。代入圆的方程：

$$t^2 n^2 + t^2 a^2 = a \cdot ta \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{a^2}{n^2 + a^2},$$

舍去对应 $O$ 本身的解 $t = 0$。因此点 $A$ 的高度是 $ta = \frac{a^3}{n^2 + a^2}$。点 $P$ 的横坐标与 $N$ 相同，高度与 $A$ 相同，把 $n$ 换成 $x$，得到

$$y = \frac{a^3}{x^2 + a^2}.$$

这是能写出来的最简单的曲线之一：取 $a = 1$，就是 $y = \frac{1}{1 + x^2}$。

钟的形状

方程说明了图形所暗示的一切：

  • 曲线是对称的，因为 $x$ 只以平方的形式出现；
  • 最高点是 $(0, a)$，也就是 $M$ 本身，因为 $x = 0$ 时分母最小；
  • $x$ 增大时，$y$ 减小并趋近于零，但永远达不到：$x$ 轴是一条渐近线。$x$ 很大时，$y \approx \frac{a^3}{x^2}$，按平方反比下降。
1748 年《分析讲义》第一卷中的一幅图版。上面的图展示了由圆作出箕舌线的方法。
1748 年《分析讲义》第一卷中的一幅图版。上面的图展示了由圆作出箕舌线的方法。Maria Gaetana Agnesi · Wikimedia Commons · 公有领域

一条有许多主人的曲线

17 世纪中叶，皮埃尔·德·费马就已经知道这条曲线。艾萨克·牛顿在一份手稿中描述过同样的作图，但这份手稿直到 1779 年才发表。1703 年，比萨的数学家兼修士圭多·格兰迪给出了几何作图；1718 年，他提议了一个名字：拉丁语 versoria，意大利语 versiera，指转动船帆的绳索。阿涅西在 1748 年《分析讲义》第一卷中讨论了这条曲线，称之为 la versiera。

练习：曲线上的几个点

取 $a = 2$，求曲线在 $x = 2$ 处的高度，并求出曲线高度为最大高度一半时的 $x$ 值。

$a = 2$ 时，$y = \frac{8}{x^2 + 4}$。在 $x = 2$ 处：$y = \frac{8}{8} = 1$。最大高度是 $a = 2$，一半是 1。解 $\frac{8}{x^2 + 4} = 1$：$x^2 = 4$，$x = \pm 2$。一般地，曲线在 $x = \pm a$ 处达到一半高度：钟形的“半高宽”是 $2a$，即圆直径的两倍。

练习：用角度表示方程

设 $\theta$ 为直线 $ON$ 与直径 $OM$ 的夹角。证明点 $P$ 为 $(a \tan\theta,\ a\cos^2\theta)$。

点 $N = (x, a)$ 高为 $a$，与轴的水平距离为 $x$，所以 $\tan\theta = \frac{x}{a}$，$x = a\tan\theta$。于是

$$y = \frac{a^3}{a^2\tan^2\theta + a^2} = \frac{a}{1 + \tan^2\theta} = a\cos^2\theta,$$

这里用到了 $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$。当 $\theta$ 从 $-90°$ 变到 $90°$ 时，点 $P$ 走遍整条曲线。

来源： Maria Gaetana Agnesi，Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana，第一卷（1748），第一册 · Guido Grandi，Quadratura circuli et hyperbolae（1703）与 Note al trattato del Galileo del moto naturale accelerato（1718） · John Colson（译），Analytical Institutions，John Hellins 编（1801） · Clifford Truesdell，“Maria Gaetana Agnesi”，Archive for History of Exact Sciences 40（1989）。

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