对数把乘法变成加法：要把两个数相乘，就把它们的对数相加，再变回来。拉普拉斯变换对微分方程做了类似的事：把导数换成乘法。先解一个代数方程，再变回来。

起源

拉普拉斯是通过概率得到这个想法的。在 1812 年的《概率的解析理论》中，他用母函数来组织计算：不直接处理一串概率，而是处理一个把它们全部储存起来的函数。这个想法的连续版本是一个积分，欧拉早先用过，但拉普拉斯对它做了系统的探索：

$$F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$$

每个函数 $f(t)$ 都变成一个新函数 $F(s)$，即它的拉普拉斯变换，记作 $\mathcal{L}\{f\}$。

几个例子

对常数 $f(t) = 1$：

$$\mathcal{L}\{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \quad (s > 0).$$

对指数函数 $f(t) = e^{at}$，两个指数合并：

$$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a} \quad (s > a).$$

导数变成乘法

使变换有用的性质来自一次分部积分：

$$\mathcal{L}\{f'\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f'(t)\,dt = \Big[e^{-st}f(t)\Big]_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = sF(s) - f(0).$$

对 $f$ 求导，相当于把 $F$ 乘以 $s$（再减去初始值）。微分方程变成代数方程，而初始值已经包含在计算里了。

一个电路

在一个由电阻和电容组成、接在电池上的电路中，电容两端的电压 $y(t)$ 在适当的单位下满足

$$y' + y = 1, \qquad y(0) = 0.$$

对两边做变换：$sY - 0 + Y = \frac{1}{s}$，即

$$Y(s) = \frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}.$$

现在只需从表中认出这些变换：$\frac{1}{s}$ 来自 $1$，$\frac{1}{s+1}$ 来自 $e^{-t}$。所以

$$y(t) = 1 - e^{-t}.$$

电容逐渐充电，电压趋近电池电压，与实验室里观察到的一样。

经由工程学的回归

很长时间里，这个变换作为一个概率技巧被遗忘了。19 世纪末，英国工程师奥利弗·亥维赛为电路发明了一种“运算微积分”，把导数当作一个可以乘除的数来处理。结果是对的，但数学家不明白为什么。1910 年代，托马斯·布罗米奇等人证明，亥维赛的方法本质上就是拉普拉斯变换；1930 年代，古斯塔夫·德奇为它奠定了严格的基础。从那以后，它出现在每一门工程课程里，用于控制、信号和电路。

练习：t 的变换

计算 $\mathcal{L}\{t\}$。

分部积分，取 $u = t$，$dv = e^{-st}dt$：

$$\int_0^{\infty} t\,e^{-st}\,dt = \left[-\frac{t\,e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} + \frac{1}{s}\int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = 0 + \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{1}{s^2}.$$

也可以用导数法则：$t$ 的导数是 1，且在 $t = 0$ 时为 0，所以 $s\,\mathcal{L}\{t\} = \mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$。

练习：指数增长

用变换求解 $y' = 3y$，$y(0) = 2$。

变换得 $sY - 2 = 3Y$，所以 $Y = \frac{2}{s-3}$。查表，$\frac{1}{s-3}$ 来自 $e^{3t}$，因此 $y(t) = 2e^{3t}$。

来源： Pierre-Simon Laplace，Théorie analytique des probabilités（1812），第一卷 · Michael A. B. Deakin，“The Development of the Laplace Transform, 1737–1937”，Archive for History of Exact Sciences 25（1981）与 26（1982） · Gustav Doetsch，Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation（1937） · Paul J. Nahin，Oliver Heaviside: Sage in Solitude（1988）。

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