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それぞれの本には、順番に読めるよう章ごとに整理された解説と解答付きの問題があります。

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数学の歴史 · オーギュスタン＝ルイ・コーシー：解析学の厳密さ

画像クレジット

歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから得た。コモンズが提供するファイルまたはサムネイルを使い、幅を最大 800 ピクセルに縮小したほかは手を加えていない。 オーギュスタン＝ルイ・コーシーの肖像、ベルチの写真にもとづくルドルフ・ホフマンの石版画（1856）：元のペー …

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数学の歴史 · オーギュスタン＝ルイ・コーシー：解析学の厳密さ

コーシーの遺産

コーシーは狂っていて、彼とはどうにも話が通じない。それでも、いま数学をどうやるべきかを知っているのは彼なのだ。 — ニールス・ヘンリク・アーベル、ホルンボエへの手紙（1826） コーシーはおよそ 800 編の論文と七冊の本を出版した。科学アカデミーが編集した『全集』は、1882 …

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数学の歴史 · オーギュスタン＝ルイ・コーシー：解析学の厳密さ

弾性体の応力

コーシーは技師であることをやめなかった。1822 年、クロード＝ルイ・ナヴィエは分子間の力にもとづく弾性固体の理論をアカデミーに提出し、オーギュスタン・フレネルは光を弾性媒質であるエーテルの横振動として説明していた。アカデミーで二人の同僚だったコーシーは、これらの仕事を間近で追っ …

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数学の歴史 · オーギュスタン＝ルイ・コーシー：解析学の厳密さ

複素平面上の積分

十八世紀の終わり、オイラーとラプラスは、むずかしい実積分を大胆な技で計算していた。実変数を複素変数に置きかえ、計算をしてから実数に戻るのである。ラプラスはこれを「実から虚への移行」とよんだ。結果は合っていたが、この技がいつ正当なのかは誰にも言えなかった。この問いに答えるために …

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数学の歴史 · オーギュスタン＝ルイ・コーシー：解析学の厳密さ

導関数と積分

『解析教程』の二年後、コーシーは『王立エコール・ポリテクニークにおける無限小計算講義要録』（1823）を出版した。四十の短い講義で、彼は微分学と積分学を極限の考えで建て直した。これは本質的に、微積分の教科書が今日でもしたがっている筋道である。 導関数 ラグランジュにとって、$f$ …

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数学の歴史 · オーギュスタン＝ルイ・コーシー：解析学の厳密さ

コーシーの不等式

1821 年の『解析教程』は九つの注で終わる。本文に入れたくなかった結果を集めた、一種の付録である。不等式を扱う二つめの注には、数学オリンピックをめざす生徒なら誰でも知っている二つの宝石がある。 不等式 コーシーの定理は、任意の実数 $a_1, \ldots, a_n$ と …

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