我有时会想，像冯·诺依曼这样的大脑，是否意味着一个比人类更高级的物种。

— 诺贝尔物理学奖得主汉斯·贝特，据诺曼·麦克雷转述

这一系列中的八篇文章只展示了冯·诺依曼所做工作的一部分。完整的清单装满了六卷文集，几乎遍及他那个时代数学的每一个分支。

纯数学

  • 算子代数。 1929 年到 1943 年间，他部分与弗朗西斯·默里合作，创立了今天称为冯·诺依曼代数的算子代数理论，这是分析学和数学物理中最活跃的领域之一。
  • 遍历定理。 1932 年，他证明了一个版本的定理，为统计物理的一条原理提供了依据：一个量对时间的平均等于对所有可能状态的平均。
  • 希尔伯特第五问题。 1933 年，他解决了希尔伯特在 1900 年提出的问题之一的紧致情形，这个问题问的是连续群何时自动是“光滑”的。

经济、天气与战略

  • 经济增长。 在一篇 1937 年发表、几年前已在普林斯顿的一个研讨会上报告过的论文中，他构建了一个扩张经济的模型，并用与极小极大相同的数学证明了均衡的存在。这是数理经济学的奠基文献之一。
  • 天气预报。 1950 年，由朱尔·查尼领导、冯·诺依曼参与的小组在 ENIAC 上做出了第一次数值天气预报：24 小时的预报花了大约 24 小时来计算。今天预报天气和气候的模型都是那次实验的后代。
  • 核战略。 冷战中，博弈论被用来思考军备竞赛，冯·诺依曼参与了洲际导弹的规划。与这种推理相联系的“相互确保摧毁”一语，至今仍概括着一个时代。

“奇点”这个词

1958 年，斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆写了一篇纪念他朋友的文章。文中他回忆起一次谈话，谈到技术进步不断加速，似乎正在接近“人类历史上某个本质性的奇点，越过它，我们所知的人类事务就无法继续下去”。这是这个词在这一意义上有记录的首次使用，几十年后它成了关于人工智能讨论的主题。

约翰·冯·诺依曼在洛斯阿拉莫斯的证件照，摄于 1940 年代。
约翰·冯·诺依曼在洛斯阿拉莫斯的证件照，摄于 1940 年代。Los Alamos National Laboratory · Wikimedia Commons · 须署名

怎样评价他

冯·诺依曼既是本世纪最抽象的数学家之一，又是最深入参与科学军事应用的人之一，这两者在他的故事里密不可分。他帮助创造的计算机是为计算炸弹而诞生的，很快又转去计算天气、市场和蛋白质。博弈论诞生于一篇关于室内游戏的论文，最后进入了核战略手册和手机频段的拍卖。

他留下的启示，是一位不尊重学科边界的数学家的启示。他把物理学、经济学和计算机都当作数学可以派上用场的地方，而数学几乎总是派上了用场。

练习：IAS 的存储器

一张 1 GB（$10^9$ 字节）的存储卡能装下多少个 IAS 存储器？

每个 IAS 存储器有 $5\,120$ 字节。$\frac{10^9}{5\,120} \approx 195\,000$。今天的一张小卡片能装下冯·诺依曼那台计算机近二十万倍的存储器。

练习：迟到的预报

1950 年，24 小时的预报大约要算 24 小时。如果今天的计算机做同样的计算快十亿倍，要多长时间？

$24$ 小时是 $86\,400$ 秒。除以 $10^9$ 约得 $0.0000864$ 秒，不到十分之一毫秒。这就是为什么今天的模型能使用精细几十亿倍的网格，仍然能提前好几天做出预报。

来源： Stanisław Ulam, “John von Neumann 1903–1957”, Bulletin of the AMS（1958）· Norman Macrae, John von Neumann（1992）· William Poundstone, Prisoner’s Dilemma（1992）· 冯·诺依曼传记，MacTutor。

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