最终回顾：十大抵达挑战

每章一个问题

分多次做题，不要着急。首先画出并解释你选择的工具。尝试后检查分辨率。如果某个主题看起来仍然是新的，请返回到挑战编号指示的章节。

1。旋转。 半径为 12 cm 的轮子旋转 $120°$。边缘点沿圆周移动多远？

分辨率 1

$120°=2\pi/3$ 弧度。弧长为 $s=r\theta=12\cdot2\pi/3=8\pi$ cm。它是总长度 $24\pi$ 厘米的三分之一。

2。波浪。 小屋的高度为 $h(\theta)=9+7\operatorname{sen}\theta$，以米为单位。最小和最大高度是多少？

分辨率 2

作为 $-1\le\operatorname{sen}\theta\le1$，最小高度为 $9-7=2$ 米，最大高度为 $9+7=16$ 米。振幅为 7 米，是极端高度之间差异的一半。

3。恒等式。 如果 $\cos\theta=-7/25$ 和 $\theta$ 在第二象限，求正弦和正切。

分辨率 3

$\operatorname{sen}^2\theta=1-49/625=576/625$。第二象限的正弦为正：$\operatorname{sen}\theta=24/25$。正切为 $(24/25)/(-7/25)=-24/7$。

**4。对称性。**计算$\operatorname{sen}(-150°)$和$\cos240°$。

分辨率 4

由于正弦是奇数，$\operatorname{sen}(-150°)=-\operatorname{sen}150°=-1/2$。如$240°=180°+60°$、$\cos240°=-\cos60°=-1/2$。

5。多边形。 计算半径为 4 cm 的圆内接的等边三角形的边长和周长。

分辨率 5

对于 $n=3$、$\ell=2R\operatorname{sen}(\pi/3)=8\cdot\sqrt3/2=4\sqrt3$ 厘米。周长为 $3\ell=12\sqrt3$ 厘米。

6。转换。 使用 $75°=45°+30°$ 查找 $\tan75°$。

分辨率 6

使用求和公式：

$$\tan75°=\frac{1+1/\sqrt3}{1-1/\sqrt3} =\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=2+\sqrt3.$$

在最后一步中，我们乘以 $(\sqrt3+1)/(\sqrt3+1)$。没有分母为零。

7。方程。 将 $2\operatorname{sen} x-\sqrt3=0$ 解为 $[0°,360°)$。

分辨率 7

$\operatorname{sen} x=\sqrt3/2$。参考角度为$60°$。第一和第二象限的正弦为正：$x=60°$ 或 $x=120°$。

8。不等式。 将 $\cos x\le-1/2$ 解为 $[0°,360°)$。

分辨率 8

$120°$ 和 $240°$ 中出现相等。坐标为 $-1/2$ 的垂直线左侧的圆弧位于这些角度之间。由于不平等包含平等，因此解为 $[120°,240°]$。

9。在庭院中进行测量。 您的眼睛距地面 1,2 米。在距杆子 10 米的水平距离处，在平坦的地面上，测量到顶部的 $30°$ 高程。帖子有多高？

分辨率 9

眼睛与顶部之间的水平差为 $10\tan30°=10\sqrt3/3$ 米。总高度为 $1{,}2+10\sqrt3/3$ 米，大约为 6,97 米。

**10。一个完整的三角形。**直角三角形的边为 6 和 8 厘米，斜边为 10 厘米。计算面积、外接圆半径和内切圆半径。

分辨率 10

面积为 $K=6\cdot8/2=24$ cm²。使用公式 $K=abc/(4R)$，我们得到 $R=(6\cdot8\cdot10)/(4\cdot24)=5$ cm。半周长为 $s=(6+8+10)/2=12$ 厘米，然后为 $r=K/s=2$ 厘米。

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