Euler's Eyes
2026-10-20
任何三角形：完整的工具箱
在互动书中： 完成第 X 章，包含所有演示和练习.
从银行看到的一座桥
两点 A 和 B 位于河的同一岸上，相距已知距离。 C点在对岸。通过测量A和B的角度，我们可以在不交叉的情况下计算AC和BC。所形成的三角形可能没有直角。
我们将角度称为 $A,B,C$，将其对边称为 $a,b,c$。始终$A+B+C=180°$。非简并三角形的边均为正，并且每条边都小于其他两条边的和。
余弦定律的演示
将 A 放置在原点，将 B 放置在 $(c,0)$ 处，将 C 放置在 $(b\cos A,b\operatorname{sen} A)$ 处。 BC 侧尺寸为 $a$。通过两点之间的距离，来自毕达哥拉斯：
$$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\operatorname{sen} A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\operatorname{sen}^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$该表达式也适用于 $A$ 钝角，因为 C 的水平坐标变为负值。如果$A=90°$，余弦项为零，我们再次找到毕达哥拉斯。
例如，对于 $b=5$、$c=7$ 和 $A=60°$，我们有 $a^2=25+49-70/2=39$，然后是 $a=\sqrt{39}$。
面积公式演示
相对于边 $c$ 的高度测量为 $b\operatorname{sen} A$。如果 $A$ 是钝角，则高度落在底边的延长线上，并且正弦保持为正值。因此面积 $K$ 为：
$$K=\frac{bc\operatorname{sen} A}{2}.$$选择其他对边，我们也得到$K=ac\operatorname{sen} B/2=ab\operatorname{sen} C/2$。使表达式相等并除以 $abc/2$（正数），结果为：
$$\frac{\operatorname{sen} A}{a}=\frac{\operatorname{sen} B}{b}=\frac{\operatorname{sen} C}{c}.$$反演，我们得到正弦定律：
$$\frac a{\operatorname{sen} A}=\frac b{\operatorname{sen} B}=\frac c{\operatorname{sen} C}.$$如果 $R$ 是穿过三个顶点的圆的半径，则与 $A$ 相对的弦的尺寸为 $a=2R\operatorname{sen} A$。这是将具有两个半径的三角形分成两半的结果：对于 $A$ 钝角，我们使用具有相同正弦的补角。所以上面的公比是$2R$和$K=abc/(4R)$。
不用过河就能解决
如果 $AB=c=20$ m 且测量的角度为 $A=45°$ 和 $B=60°$，则为 $C=75°$。根据正弦定理：
$$\begin{aligned} b=AC&=\frac{20\operatorname{sen}60°}{\operatorname{sen}75°}\\ &=\frac{40\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}\text{ m}. \end{aligned}$$这大约是 17,93 米。 $a=BC$ 边为 $20\operatorname{sen}45°/\operatorname{sen}75°$，大约为 14,64 米。这些措施使您可以在不下水的情况下计划穿越。
什么样的信息就足够了？
有两个角度和一条边，获得第三个角度并使用正弦定理。有了两条边和它们之间的角度，首先使用余弦定律。利用三个有效边，分离出一个余弦并通过反函数得到角度。
需要注意两条边以及不在它们之间的角度。例如，如果 $A=30°$、$a=5$ 和 $b=8$，则正弦定律给出 $\operatorname{sen} B=4/5$。有两个选择：$B\approx53{,}13°$ 或$B\approx126{,}87°$。两者都留下正的第三角。因此，有两个可能的三角形。这种类型的其他数据可能给出一个三角形或不给出三角形。
高级研讨会：特殊措施
半周长是$s=(a+b+c)/2$。面积也可以使用 Heron 公式计算：
$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$为了演示它，请在 $K=bc\operatorname{sen} A/2$ 中使用 $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ 和 $\operatorname{sen}^2A=1-\cos^2A$。像这样：
$$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$由于面积为正，因此我们取正根。高度为 $h_a=2K/a$、$h_b=2K/b$ 和 $h_c=2K/c$。
内切圆与三边相切。它的中心与它们的距离相同$r$。将三角形分成高度为 $r$ 的三部分，我们得到 $K=(a+b+c)r/2=rs$，因此得到 $r=K/s$。
中位数 将顶点连接到对边的中间。其测量值为：
$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$为了进行演示，请将底边的中点放在原点，将极值放在 $(-a/2,0)$ 和 $(a/2,0)$ 处，将顶点放在 $(u,v)$ 处。添加平方距离表达式：$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+a^2/2$。公式结果为$u^2+v^2=m_a^2$。
内部的 角平分线 将角度分成两半。如果其长度为$t_a$，则：
$$t_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c}.$$事实上，角平分线将三角形分为两个区域$ct_a\operatorname{sen}(A/2)/2$和$bt_a\operatorname{sen}(A/2)/2$。总和是$bc\operatorname{sen} A/2$。替换$\operatorname{sen} A=2\operatorname{sen}(A/2)\cos(A/2)$并取消正因子，我们得到表达式。
您不需要立即记住所有这些工具。选择一个数字，确定您所知道的内容，并解释为什么所选公式适用。
在日常生活中
- 船之间的距离。 两艘船从同一港口向不同方向离开：余弦定律给出了它们之间的距离。
- 土地。 海伦公式给出了仅测量三个边的三角形土地的面积。
- 机械臂。 机器人或假肢的“肘部”角度是使用余弦定律计算的。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
1。 两条边的尺寸为 6 和 8 厘米，它们之间的角度为 $60°$。计算第三边。
参见分辨率 1
$a^2=36+64-2\cdot6\cdot8\cdot1/2=52$。标志 $a=2\sqrt{13}$ 厘米。
2. 计算边为 8 和 10 cm 形成 $30°$ 的三角形的面积。
参见分辨率 2
$K=8\cdot10\cdot\operatorname{sen}30°/2=20$ 平方厘米。
3。 三角形的尺寸为 $A=30°$、$B=45°$ 和 $a=6$ 厘米。计算$C$和$b$。
参见分辨率 3
$C=180°-30°-45°=105°$。根据正弦定理， $b=6(\sqrt2/2)/(1/2)=6\sqrt2$ 厘米。
4。 三角形的边长为 5、5 和 6 厘米。计算面积、相对于边 6 的高度和内切半径。
参见分辨率 4
$s=8$ 厘米。作者：Heron，$K=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$ cm²。高度为 $2\cdot12/6=4$ 厘米。内切半径为 $12/8=1{,}5$ cm。
5。 计算边长为 5、5 和 6 cm 的三角形中相对于 6 cm 边的中位数。
参见分辨率 5
$m=\tfrac12\sqrt{2\cdot25+2\cdot25-36}=\tfrac12\sqrt{64}=4$ 厘米。在这个等腰三角形中，这个中位数也是高度和角平分线。
6. 如果$A=30°$、$a=4$和$b=10$，是否存在三角形？
参见分辨率 6
不。正弦定律需要 $\operatorname{sen} B=b\operatorname{sen} A/a=10\cdot(1/2)/4=1{,}25$，这对于实角来说是不可能的。