コーシーは技師であることをやめなかった。1822 年、クロード＝ルイ・ナヴィエは分子間の力にもとづく弾性固体の理論をアカデミーに提出し、オーギュスタン・フレネルは光を弾性媒質であるエーテルの横振動として説明していた。アカデミーで二人の同僚だったコーシーは、これらの仕事を間近で追っていた。1822 年 9 月 30 日、彼はアカデミーで、分子を必要としない新しい理論を発表した。

想像上の切り口

荷重を受けた梁、橋、柱を思い浮かべよう。内部に一点をとり、そこを通る小さな平らな切り口を想像する。その垂直な向きを $\mathbf{n}$ とする。切り口の一方の側の物質は、もう一方の側の物質を引いたり押したりする。この切り口での単位面積あたりの力はベクトル $\mathbf{t}$ で、コーシーはそれを「圧力」とよび、今日では応力ベクトルとよぶ。

このベクトルは切り口に垂直とはかぎらない。垂直な部分は垂直応力で、圧縮したり引き伸ばしたりする。平行な部分はせん断応力で、二つの面をたがいにすべらせようとする。そして同じ点のまわりで切り口を回すと、$\mathbf{t}$ も変わる。

コーシーの定理

コーシーの発見は、この依存関係が考えうるもっとも単純なもの、つまり線形だということである。数の表 $\sigma$ があって、どんな向き $\mathbf{n}$ に対しても

$$\mathbf{t} = \sigma\,\mathbf{n}, \qquad \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}$$

となる。表は対称なので、六つの数があれば、その点を通るあらゆる切り口での力がわかる。これがコーシーの応力テンソルである。

論法は四面体の論法である。三つの面が座標平面に平行で、四つめの面が $\mathbf{n}$ に垂直な、ごく小さな四面体を切り出す。面にかかる力は面積に比例し、面積は大きさの二乗で小さくなる。重さや慣性は体積に比例し、体積は大きさの三乗で小さくなる。ごく小さな四面体では面にかかる力だけが効き、それらはつり合わなければならない。各座標面の面積は、斜めの面の面積に $\mathbf{n}$ の成分のひとつを掛けたものなので、つり合いからちょうど $\mathbf{t} = \sigma\mathbf{n}$ が出てくる。

平面での例

平面では、表は三つの数からなる。メガパスカル単位で

$$\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

としよう。縦の切り口では $\mathbf{n} = (1, 0)$ で、$\mathbf{t} = (3, 1)$。垂直応力 3（引張り）、せん断応力 1 である。横の切り口では $\mathbf{n} = (0, 1)$ で、$\mathbf{t} = (1, 1)$。垂直応力 1、せん断応力 1 である。図で切り口を回し、二つの成分を追ってみよう。

主方向

コーシーはまた、各点にたがいに垂直な三つの向き、つまり主方向があって、その向きでは応力ベクトルが切り口に垂直になることを示した。せん断はまったくなく、引張りか圧縮だけである。対応する値、つまり主応力は、その点でありうる最大と最小の垂直応力である。技師が材料の強さと比べるのはこれらである。今日の言葉でいえば、それはテンソル $\sigma$ の固有値と固有ベクトルであり、コーシーは同じ時期に二次曲面を研究するなかでこれらの考えを発展させた。

演習：主応力

$\sigma = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ の主応力と主方向を求めよ。

$\sigma \mathbf{n} = \lambda \mathbf{n}$ となる $\mathbf{n}$ を探す。これには $\det(\sigma - \lambda I) = 0$ が必要で、$(3 - \lambda)(1 - \lambda) - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 2 = 0$。よって $\lambda = 2 \pm \sqrt{2}$、つまり $3.414$ と $0.586$ である。$\lambda = 2 + \sqrt{2}$ では、第一行から $(1 - \sqrt{2})\,n_x + n_y = 0$、つまり $n_y = (\sqrt{2} - 1)\,n_x$ で、$\sqrt{2} - 1 = \tan 22.5°$ である。主方向は $x$ 軸と $22.5°$ と $112.5°$ の角をなす。

演習：プリズム

ふつうのガラスでは $A \approx 1.5046$、$B \approx 4\,200\ \text{nm}^2$ である。紫の光（$\lambda = 400$ nm）と赤い光（$\lambda = 700$ nm）の屈折率を計算せよ。

紫：$n = 1.5046 + \frac{4\,200}{160\,000} = 1.5046 + 0.0263 = 1.5309$。赤：$n = 1.5046 + \frac{4\,200}{490\,000} = 1.5046 + 0.0086 = 1.5132$。差は小さいが、プリズムから出る光を虹に広げるのはこの差である。

出典： Augustin-Louis Cauchy、「Recherches sur l’équilibre et le mouvement intérieur des corps solides ou fluides, élastiques ou non élastiques」、Bulletin de la Société philomatique（1823） · Augustin-Louis Cauchy、「De la pression ou tension dans un corps solide」、Exercices de mathématiques 2（1827） · Augustin-Louis Cauchy、Mémoire sur la dispersion de la lumière（1836） · Isaac Todhunter、Karl Pearson、A History of the Theory of Elasticity 第 1 巻（1886） · Clifford Truesdell、Essays in the History of Mechanics（1968）。

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