ニュートンはただひとつの法則で惑星の軌道を説明したが、その法則がひとつの問題を抱えていることも知っていた。どの惑星も太陽に引かれ、ほかの惑星にも少しずつ引かれる。この小さな引力は時間とともに積み重なる。ニュートンは、長い目で見れば太陽系は乱れてしまい、ときどき神が介入して秩序を戻さなければならないのではないかと疑った。

木星と土星の謎

天文学者には心配する理由があった。古い観測と新しい観測を比べて、エドモンド・ハレーは 1695 年に、木星がますます速く、土星がますます遅く動いているように見えることに気づいていた。これが永続的な傾向なら、木星はいずれ太陽に落ち、土星は宇宙のかなたに消えてしまう。オイラーとラグランジュがこの現象を説明しようとしたが、うまくいかなかった。

1785 年、ラプラスが答えを見つけた。それは傾向ではなく、周期が 900 年近い、ごくゆっくりした振動だった。天文学者たちはその一部分だけを見て、その区間を直線と取り違えていたのである。

五周対二周

鍵は周期にある。木星は約 11.86 年、土星は約 29.46 年で太陽を一周する。つまり一年あたり

$$n_J = \frac{360^\circ}{11.86} \approx 30.35^\circ, \qquad n_S = \frac{360^\circ}{29.46} \approx 12.22^\circ$$

進む。土星の二周と木星の五周がほぼ同じ長さであることに注意しよう。$2 \times 29.46 = 58.9$ 年、$5 \times 11.86 = 59.3$ 年である。二つの惑星は 5 対 2 の共鳴に近いという。効いてくるのは差

$$2n_J - 5n_S \approx 60.70^\circ - 61.10^\circ = -0.40^\circ \text{（1 年あたり）}$$

である。この差は小さく、だからこそ摂動はなかなか解消しない。この角度が一周するには

$$\frac{360^\circ}{1 \text{ 年あたり } 0.40^\circ} \approx 880 \text{ 年}$$

かかる。

三角形をなす会合

同じことを目で見る方法もある。二つの惑星は

$$\frac{1}{\frac{1}{11.86} - \frac{1}{29.46}} \approx 19.86 \text{ 年}$$

ごとに太陽と一直線に並ぶ。これを会合という。そして会合のたびに、前回より約 $242.7^\circ$ 先の位置で起こる。三回続けると $3 \times 242.7^\circ = 728.1^\circ$、つまり二周と $8.1^\circ$ 進む。そのため会合はほとんどいつも空の同じ三か所、ほぼ正三角形の頂点で起こり、その三角形がゆっくり回っていく。一方の惑星が他方を引く力が繰り返し加わり、積み重なるのはこの三か所である。

三角形は $120^\circ$ 回ると元と同じ形に戻るから、周期は $\frac{120^\circ}{8.1^\circ} \approx 15$ 組の会合、すなわち $15 \times 3 \times 19.86 \approx 890$ 年となる。別の道筋で同じ周期が出てきた。ラプラスの計算では、この周期のあいだに土星は平均の位置より約 $0.8^\circ$ 進んだり遅れたりし、木星は約 $0.35^\circ$、つねに逆向きにずれる。この補正を入れて彼がつくった表は、二千年分の観測と一致した。

太陽系はみずから元に戻る

木星と土星についての結果は、もっと大きな計画の一部だった。すでに 1773 年、24 歳のラプラスは、一次の近似では、各惑星の軌道の大きさと周期を決める長半径が時間とともに変わらないことを示していた。摂動はそれを振動させるが、際限なく増やしはしない。1787 年には、もうひとつの古い謎である月の見かけの加速も同じように説明し、地球の軌道の離心率のゆっくりした変化と結びつけた。

結論は完全に見えた。天の不規則さは周期的で、打ち消しあう。太陽系は外からの調整を必要としない安定した機械だというのである。ラプラスがナポレオンの前で、空を説明するのに神という「仮説」は必要なかったと言ったという話は、この結果から来ている。

練習：海王星と冥王星の共鳴

海王星は約 164.8 年、冥王星は約 248.0 年で太陽を一周する。両者のあいだにはどんな簡単な共鳴があるか。

比を計算する。$\frac{248.0}{164.8} \approx 1.505 \approx \frac{3}{2}$。海王星が三周（$3 \times 164.8 = 494.4$ 年）するあいだに、冥王星は二周（$2 \times 248.0 = 496.0$ 年）する。3 対 2 の共鳴であり、冥王星の軌道は海王星の軌道と交わるのに、この共鳴のおかげで両者は近づかない。

練習：会合周期

二つの惑星の周期が $T_1 < T_2$ のとき、続けて起こる二回の会合のあいだの時間は $\frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$ であることを示し、木星と土星にあてはめよ。

時間 $t$ のあいだに、速い惑星は $\frac{360^\circ t}{T_1}$、遅い惑星は $\frac{360^\circ t}{T_2}$ 進む。速いほうが一周分だけ追い越したとき次の会合が起こるから、$\frac{t}{T_1} - \frac{t}{T_2} = 1$、すなわち $t = \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$ である。木星と土星では $\frac{11.86 \times 29.46}{17.60} \approx 19.85$ 年となる。

出典： Pierre-Simon Laplace、「Théorie de Jupiter et de Saturne」、Mémoires de l’Académie royale des sciences（1785、1788 年刊） · Curtis Wilson、「The Great Inequality of Jupiter and Saturn: from Kepler to Laplace」、Archive for History of Exact Sciences 33（1985） · Jacques Laskar、「A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar System」、Nature 338（1989） · Charles C. Gillispie、Pierre-Simon Laplace（1997）。

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