A probabilidade clássica vai das causas aos efeitos: sabendo que a moeda é honesta, qual a chance de dar cara? Muitas vezes o problema é o contrário. Vemos os efeitos e queremos saber da causa: depois de ver certos resultados, o que podemos dizer sobre a moeda? O primeiro a tratar matematicamente essa probabilidade das causas foi o reverendo inglês Thomas Bayes, num trabalho publicado depois da sua morte, em 1763. Laplace chegou às mesmas ideias de forma independente em 1774, sem conhecer Bayes, e foi ele quem as desenvolveu e aplicou.

A urna desconhecida

Imagine uma urna com bolas brancas e pretas em proporção desconhecida $p$. Não sabemos nada sobre $p$: qualquer valor entre 0 e 1 parece igualmente plausível. Tiramos $n$ bolas (repondo cada uma) e todas saem brancas. Qual a chance de a próxima também ser branca?

Se a proporção fosse $p$, a chance de $n$ brancas seguidas seria $p^n$. Os valores de $p$ que explicam melhor o que vimos ganham mais peso. Pesando cada $p$ por $p^n$, a chance de a próxima ser branca é a média de $p$ com esses pesos:

$$P(\text{próxima branca}) = \frac{\int_0^1 p \cdot p^n\,dp}{\int_0^1 p^n\,dp} = \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.$$

É a regra de sucessão de Laplace. Sem nenhuma observação ($n = 0$), dá $\frac{1}{2}$. Depois de uma branca, $\frac{2}{3}$. Depois de dez, $\frac{11}{12}$. Mais geralmente, se em $n$ tiragens saíram $s$ brancas, a chance de a próxima ser branca é $\frac{s+1}{n+2}$.

A figura mostra a curva de pesos, $(n+1)p^n$, à medida que as brancas se acumulam. Ela se concentra perto de $p = 1$, mas nunca chega a ter certeza:

O nascer do Sol

No Ensaio filosófico de 1814 Laplace aplicou a regra a um exemplo que ficou famoso. Suponha que a história registrada tenha 5000 anos, ou $1\,826\,213$ dias, e que o Sol tenha nascido em todos eles. Pela regra, a chance de ele nascer amanhã é

$$\frac{1\,826\,214}{1\,826\,215},$$

e Laplace dizia que se poderia apostar $1\,826\,214$ contra 1 que o Sol nascerá amanhã.

Mas ele acrescentou na mesma página uma ressalva que muitos esquecem: esse número vale para quem só conhece a sequência de nascimentos. Quem conhece as leis que regem os dias e as estações, escreveu, sabe que nada no presente pode parar o movimento do Sol, e a probabilidade para essa pessoa é “incomparavelmente maior”. A regra de sucessão é o que resta quando não se sabe mais nada.

Exercício: os pesos somam 1

Mostre que $\int_0^1 p^n\,dp = \frac{1}{n+1}$ e conclua que a curva $(n+1)p^n$ da figura tem área 1 e média $\frac{n+1}{n+2}$.

Uma primitiva de $p^n$ é $\frac{p^{n+1}}{n+1}$, que vale $\frac{1}{n+1}$ em $p = 1$ e 0 em $p = 0$. Multiplicando por $n+1$, a área fica 1. A média é $\int_0^1 p\,(n+1)p^n\,dp = (n+1)\cdot\frac{1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2}$: exatamente a regra de sucessão.

Exercício: nove em dez, noventa em cem

Um jogador acertou 9 de 10 lances livres. Outro acertou 90 de 100. Pela regra de sucessão, qual a chance de cada um acertar o próximo?

Primeiro: $\frac{9+1}{10+2} = \frac{10}{12} \approx 0{,}83$. Segundo: $\frac{90+1}{100+2} = \frac{91}{102} \approx 0{,}89$. As proporções observadas são iguais, 90%, mas a regra confia mais em quem tem mais dados: com poucas observações, ela puxa a estimativa para perto de $\frac{1}{2}$.

Fontes: Pierre-Simon Laplace, “Mémoire sur la probabilité des causes par les événements”, Mémoires de mathématique et de physique présentés à l’Académie 6 (1774) · Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités (1814) · Thomas Bayes, “An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances”, Philosophical Transactions 53 (1763) · Stephen M. Stigler, “Laplace’s 1774 Memoir on Inverse Probability”, Statistical Science 1 (1986) · Sharon Bertsch McGrayne, The Theory That Would Not Die (2011).

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