Entre 1760 e 1762, Leonhard Euler escreveu mais de duzentas cartas a uma jovem princesa alemã, sobrinha do rei da Prússia, para ensinar-lhe física, astronomia e filosofia. Publicadas a partir de 1768 com o título de Cartas a uma princesa da Alemanha, tornaram-se um dos livros de divulgação científica mais lidos do século. Em algumas delas, para explicar os raciocínios da lógica, Euler desenhou círculos.

Três frases, três desenhos

Três relações entre dois conjuntos desenhadas como círculos: “todo A é B” (A dentro de B), “nenhum A é B” (círculos separados) e “algum A é B” (círculos que se cruzam).
Três relações entre dois conjuntos desenhadas como círculos: “todo A é B” (A dentro de B), “nenhum A é B” (círculos separados) e “algum A é B” (círculos que se cruzam).Diagrama didático produzido para este livro.

A ideia é que cada conceito ocupa uma região, e as frases da lógica viram posições:

  • “Todo A é B”: o círculo $A$ fica dentro do círculo $B$.
  • “Nenhum A é B”: os círculos ficam separados.
  • “Algum A é B”: os círculos se cruzam, e há algo na parte comum.

Agora veja o que acontece com um silogismo. “Todo A é B. Todo B é C.” Desenhe o primeiro círculo dentro do segundo, e o segundo dentro do terceiro. Não é preciso fazer mais nada: a conclusão, “todo A é C”, já está no desenho, porque $A$ ficou dentro de $C$ sem que ninguém o pusesse lá. O diagrama faz a dedução de graça.

Ícone de relações

O filósofo Charles Sanders Peirce, de quem o capítulo 2 falou, explicou por que isso funciona. Um círculo não se parece com o conjunto dos gatos nem com o dos mamíferos. Mas a relação entre os círculos, um dentro do outro, se parece com a relação entre os conjuntos. É um ícone de relações: o desenho copia a estrutura, não as coisas. Peirce chegou a dizer que todo raciocínio dedutivo é, no fundo, a observação de um diagrama, desenhado no papel ou na imaginação.

O problema de Euler e a solução de Venn

Os círculos de Euler têm um defeito: obrigam a decidir a posição antes de saber. Se a única informação é “algum A é B”, os círculos devem se cruzar; mas talvez $A$ esteja inteiro dentro de $B$, e o desenho não tem como dizer “talvez”.

Em 1880, o lógico inglês John Venn propôs outro método. Em vez de desenhar só as relações conhecidas, desenhe todas as regiões possíveis, com os círculos sempre se cruzando, e marque as informações:

  • uma região sombreada está vazia;
  • uma região com um x tem pelo menos um elemento.

Com dois conjuntos há quatro regiões: só $A$, só $B$, $A$ e $B$, e nenhum dos dois. Com três conjuntos, oito. Com $n$ conjuntos, $2^n$. “Todo A é B” passa a ser “a parte de $A$ fora de $B$ está vazia”, e se sombreia essa parte. A pergunta deixa de ser “onde ponho os círculos?” e passa a ser “quais regiões apago?”.

Exercício: sombreie as frases

Num diagrama de Venn com dois conjuntos, $A$ e $B$, quais regiões se sombreiam para “nenhum A é B”? E para “todo A é B” e “todo B é A” ao mesmo tempo?

Para “nenhum A é B”, sombreia-se a parte comum, $A\cap B$. Para as duas frases juntas, sombreiam-se “$A$ fora de $B$” e “$B$ fora de $A$”: sobra só a parte comum e o lado de fora. O desenho diz que $A$ e $B$ são o mesmo conjunto.

Exercício: um silogismo que não vale

“Todo A é B. Todo C é B. Logo, todo A é C.” Desenhe com os círculos de Euler e decida se vale.

Ponha $A$ e $C$ dentro de $B$. Eles podem ficar separados um do outro, dentro de $B$, e nada no enunciado impede isso. Logo a conclusão não vale: todo gato é mamífero, todo cão é mamífero, e nenhum gato é cão. O diagrama mostra um contraexemplo assim que se tenta desenhá-lo.

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