Euler's Eyes
2026-10-19
De Oresme ao gráfico: desenhar uma qualidade que varia
Um gráfico de velocidade por tempo parece a coisa mais natural do mundo. Mas pense no que ele faz: transforma tempo em comprimento horizontal e velocidade em comprimento vertical, duas grandezas que não são comprimentos. É uma tradução ousada, e alguém precisou inventá-la.
As latitudes de Oresme
Por volta de 1350, o francês Nicole Oresme, mestre em Paris e mais tarde bispo de Lisieux, escreveu um tratado sobre as configurações das qualidades. Uma qualidade, como o calor de uma barra ou a velocidade de um corpo, pode variar de um ponto a outro ou de um instante a outro. Oresme propôs desenhá-la:
- a longitude, uma linha horizontal, representa a extensão: o comprimento da barra ou a duração do movimento;
- em cada ponto, a latitude, um segmento vertical, representa a intensidade da qualidade ali.
O conjunto das latitudes forma uma figura, e a forma da figura descreve a variação.
Oresme deu nomes às três formas básicas. Uma qualidade uniforme dá um retângulo. Uma uniformemente disforme, que cresce por igual, dá um triângulo ou um trapézio. Uma disformemente disforme, que cresce de qualquer outro jeito, dá uma figura com o topo curvo. Hoje diríamos: função constante, função afim e função não linear.
Uma prova com áreas
O desenho de Oresme não era só ilustração. Com ele, provou uma regra que os estudiosos do Merton College, em Oxford, tinham enunciado algumas décadas antes: um corpo que acelera de maneira uniforme percorre a mesma distância que percorreria com velocidade constante igual à velocidade média.
No desenho, a distância é a área da figura. O movimento uniformemente acelerado, partindo do repouso, é um triângulo; o movimento com a velocidade média é um retângulo com metade da altura. E o triângulo e o retângulo têm a mesma área, porque o pedaço do triângulo que sobra acima do retângulo é igual ao pedaço que falta embaixo. Dois séculos e meio antes de Galileu, que chegaria à mesma regra, a prova era um desenho.
A estrada até o gráfico
Seria natural pensar que Descartes, que pôs a geometria em equações em 1637, desenhava gráficos como os de hoje. Não desenhava. No livro de Descartes não há dois eixos perpendiculares com números marcados, e as coordenadas negativas são tratadas com desconfiança. A palavra coordenadas é de Leibniz, de 1692. O gráfico de uma função, com eixos, escala e curva, se firmou devagar ao longo do século XVIII, e os gráficos de dados, como os que veremos no próximo texto, só nasceram em 1786.
O capítulo 2 mostrou, com Raymond Duval, que passar de uma fórmula ao gráfico é uma conversão entre registros, e que muitos alunos sabem calcular sem saber desenhar. A história de Oresme lembra que essa conversão não é natural: levou séculos para ser inventada.
Exercício: a regra da velocidade média
Um carro parte do repouso e acelera uniformemente até $10$ m/s em $4$ s. Que distância percorre?
No desenho de Oresme, é um triângulo de base $4$ e altura $10$: área $\frac{4\cdot10}{2}=20$ m. A velocidade média é $5$ m/s, e $5\cdot4=20$ m: o retângulo da velocidade média tem a mesma área.
Exercício: um trapézio
A velocidade cresce uniformemente de $2$ m/s a $8$ m/s em $3$ s. Que distância é percorrida?
A figura é um trapézio de bases $2$ e $8$ e altura $3$: área $\frac{(2+8)\cdot3}{2}=15$ m. É o mesmo que a velocidade média, $5$ m/s, vezes $3$ s.
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