Euler's Eyes
2026-10-19
弧和角：转弯的数学
在互动书中： 完成第一章，包含所有演示和练习.
从一个转弯开始
面向墙壁站立并转身，直到面向对面的墙壁。你转过身来。再转半圈，您就处于起始位置。 角度 测量同源两条射线之间的间隙。我们还可以遵循将其中一个带到另一个的轮换。
拿一个纸盘。标记中心 O 和边缘上的两个点 A 和 B。线段 OA 和 OB 是射线。从 A 到 B 的弯曲路径是一个 圆弧。沿着不同点之间的边缘有两条路径：说出您正在使用哪一条。直线段AB是弦，与圆弧不同。
度数：除以周围
一回合有$360°$。半圈有 $180°$，四分之一圈有 $90°$。 $0°$和$90°$之间的角度是锐角；在 $90°$ 和 $180°$ 之间，钝角。 $90°$的角度是正确的。
每度有 60 角分，每分钟有 60 角秒。角度单位为：$1°=60'$ 和 $1'=60''$。例如，$12°30'=12{,}5°$ 因为 $30/60=1/2$。
演示：用绳子测量足弓
使用半径为 $r$、长度为 $2\pi r$ 的圆。这里$\pi$是圆的长度和直径的比值；大约$3{,}14159$。
占据匝数 $\alpha/360°$ 的圆弧具有长度
$$s=\frac{\alpha}{360°}\,2\pi r.$$还有另一个单位：弧度是切割长度等于半径的弧的圆心角。以弧度为单位的测量值为 $\theta=s/r$。由于一转的长度为 $2\pi r$，因此它的测量值为 $2\pi$ 弧度。所以：
$$180°=\pi\text{ rad},\qquad s=r\theta.$$在最后一个公式中，$\theta$ 需要以弧度为单位。半径为 3 cm 且旋转 $60°=\pi/3$ rad 的轮子在其边缘行程 $3\cdot\pi/3=\pi$ cm 上形成一个点。我们不会将角度的测量与弧长混淆。
返回并附上地址
三角循环是一个半径为1、以平面原点为中心的圆。我们从 $(1,0)$ 开始。逆时针方向为正旋转；底片沿着手的方向移动。
轴将循环分为四个象限，按正方向编号。轴点不属于任何象限。 $30°$和$390°$到达与$390°=30°+360°$相同的点。一般来说，对于任何整数$k$，$\alpha+360°k$都表示相同的结束位置。旋转可能会有所不同。
在日常生活中
- **自行车。**直径约为 74 厘米的车轮每转一圈就会前进 $\pi \cdot 0{,}74 \approx 2{,}3$ 米。
- 披萨。 将披萨切成 8 等份，每片得到 $360^\circ \div 8 = 45^\circ$。
- 方向盘。“方向盘转一圈半”是旋转$540^\circ$。
尝试一下
将圆盘折叠成四部分，然后折叠成八部分。每八分之一测量 $360°/8=45°$。用手指滚动三个部分：$135°$。在使用量角器之前，估计一圈是否小于或大于四分之一圈。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
1. 四分之三圈有多少度？
参见分辨率 1
$3\cdot360°/4=270°$.
2。 将 $150°$ 转换为弧度。
参见分辨率 2
$150\cdot\pi/180=5\pi/6$ 弧度。
3。 将 $3\pi/4$ rad 转换为度。
参见分辨率 3
$(3\pi/4)\cdot180°/\pi=135°$.
4。 半径为 8 厘米的圆的弧为 $45°$。弧长是多少？
参见分辨率 4
$45°=\pi/4$ 弧度。标志 $s=8\cdot\pi/4=2\pi$ 厘米。
5. $-60°$ 的旋转在哪个象限结束？
参见分辨率 5
在卧室：$-60°+360°=300°$。
**6。**添加$18°45\prime$和$7°30\prime$。
参见分辨率 6
$25°75\prime=26°15\prime$，因为60分钟形成度数。