Euler's Eyes
2026-10-19
円弧と角度: 回転の数学
インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 1 章を完了.
ターンから始める
壁に向かって立ち、反対側の壁に向かうまで向きを変えます。あなたは振り向いた。さらに半回転するとスタート位置に着きます。 角度は、同じ原点の 2 つの光線の間の開口部を測定します。一方から他方への回転を追跡することもできます。
紙のディスクを用意してください。中心Oと端の2点AとBに印を付けます。セグメント OA と OB は光線です。 A から B に向かう曲線は円弧です。異なる点間のエッジに沿って 2 つのパスがあります。どちらを使用しているかを言ってください。直線線分AB は円弧とは異なり弦です。
度数: 周りを割る
1周は $360°$。半回転は $180°$ そして部屋には $90°$。間の角度 $0°$ そして $90°$ それは鋭いです。間 $90°$ そして $180°$、鈍い。の角度 $90°$ まっすぐです。
各度には 60 秒角があり、各分には 60 秒角があります。角度の単位は$1°=60'$と$1'=60''$です。たとえば、$30/60=1/2$ のため $12°30'=12{,}5°$。
デモンストレーション: 紐を使ってアーチを測定する
半径$r$、長さ$2\pi r$の円を使用します。ここで、$\pi$ は円の長さと直径の比です。約$3{,}14159$。
ターンの端数 $\alpha/360°$ を占める円弧には長さがあります
$$s=\frac{\alpha}{360°}\,2\pi r.$$もう一つ単位があってラジアンは半径と同じ長さの円弧を切る中心角です。ラジアン単位の測定値は $\theta=s/r$ です。回転の長さは $2\pi r$ なので、$2\pi$ ラジアンになります。したがって：
$$180°=\pi\text{ rad},\qquad s=r\theta.$$最後の式では、$\theta$ はラジアン単位である必要があります。 $60°=\pi/3$ rad 回転する半径 3 cm のホイールは、そのエッジ上の点を $3\cdot\pi/3=\pi$ cm 移動します。角度の測定と円弧の長さを混同しないでください。
住所を添えて返送
平面の原点を中心とした半径1 の円を三角サイクルといいます。 $(1,0)$から開始します。正の回転は反時計回りに進みます。マイナスは手の方向に従います。
軸はサイクルを 4 つの象限に分割し、正の方向に番号が付けられます。軸点はどの象限にも属しません。 $30°$ と $390°$ は $390°=30°+360°$ と同じ点に到達します。一般に、$\alpha+360°k$ は、任意の整数 $k$ に対して、同じ終了位置を表します。スピンも違うかも知れません。
日常生活での応用
- 自転車 直径約 74 cm の車輪は 1 回転するごとに $\pi \cdot 0{,}74 \approx 2{,}3$ m 進みます。
- ピザ。 ピザを 8 枚に均等に切ると、1 枚あたり $360^\circ \div 8 = 45^\circ$ になります。
- ハンドル 「ハンドル 1 回転半」は $540^\circ$ 回転です。
試してみてください
ディスクを4つに折り、さらに8つに折ります。 8 分の 1 が $360°/8=45°$ になります。指で 3 つの部分をスクロールします: $135°$。分度器を使用する前に、1 回転が 4 分の 1 回転より小さいか大きいかを見積もってください。
練習問題
ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。
1. 4 分の 3 回転は何度ですか?
解像度 1 を参照
$3\cdot360°/4=270°$.
2. $150°$ をラジアンに変換します。
解像度 2 を参照
$150\cdot\pi/180=5\pi/6$ ラッド。
3. $3\pi/4$ ラジアンを度に変換します。
解像度 3 を参照
$(3\pi/4)\cdot180°/\pi=135°$.
4. 半径8cmの円には$45°$の円弧があります。弧の長さはどれくらいですか?
解像度 4 を参照
$45°=\pi/4$ ラッド。ロゴ $s=8\cdot\pi/4=2\pi$ cm。
5. $-60°$ の回転はどの象限で終了しますか?
解像度 5 を参照
寝室: $-60°+360°=300°$。
6 $18°45\prime$ と $7°30\prime$ を追加します。
解像度 6 を参照
$25°75\prime=26°15\prime$、60 分が学位を形成するためです。