Euler's Eyes
2026-10-19
循环函数：掀起波澜的轮子
在互动书中： 完成第二章，包含所有演示和练习.
摩天轮舱
想象一个摩天轮，其中心高度为零，半径等于一。当驾驶室旋转时，其高度也会发生变化。它的水平位置也会改变。让我们为这两个测量命名。
循环上的一点的坐标为$P=(x,y)$。对于转动角度$\theta$，我们定义$\cos\theta=x$和$\operatorname{sen}\theta=y$。 Cosine 为水平位置； 正弦，有符号高度。左边$x$为负；在中心下方，$y$ 为负。
函数是将其域中的每个输入与单个输出关联起来的规则。对于正弦和余弦，任何实数都可以作为弧度的输入；输出在 $-1$ 和 $1$ 之间。
从轮子到图表
制作一个表格，将角度放在水平轴上，将函数的值放在垂直轴上：
| 旋转 | $0°$ | $90°$ | $180°$ | $270°$ | $360°$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 正弦 | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| 余弦 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
在这些点之间，价值观不断变化。画一条平滑的曲线。然后重复绘制另一轮。当输入中的相同正向移位重复所有值时，函数是周期性的。这些变化中最小的（如果存在的话）就是基本周期。
演示：为什么波浪会重复？
一圈后，机舱返回同一点。因此，它的两个坐标与前面的相同：
$$\operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}\theta,\qquad \cos(\theta+2\pi)=\cos\theta.$$小于一转的正旋转无法维持所有点的水平位置：特别是，余弦仅在完整一转后返回到 1。对于正弦波，其最大值 1 仅在完整旋转一圈后重新出现。因此，两者都有基本周期$2\pi$。
其他四个功能
切线 将高度与水平位置进行比较：
$$\tan\theta=\frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}.$$当余弦为零时，它不存在：$\theta=\pi/2+k\pi$。除以零不会产生数字。切线有一个周期$\pi$：半圈后，两个坐标改变符号，商保持不变。
三个功能使这个系列更加完整：
| 功能 | 定义 | 当它不存在时 |
|---|---|---|
| 余切 | $\cot\theta=\cos\theta/\operatorname{sen}\theta$ | $\theta=k\pi$ |
| 烘干 | $\sec\theta=1/\cos\theta$ | $\theta=\pi/2+k\pi$ |
| 余割 | $\csc\theta=1/\operatorname{sen}\theta$ | $\theta=k\pi$ |
在这里以及本书的其余部分，$k$ 代表任何整数。余切有周期 $\pi$；正割和余割，$2\pi$。正弦和余弦可以为零；它们的倒数永远不为零，并且模数至少为 1。
更大的轮子
如果半径为4米，中心距地面6米，则舱室高度为$h(\theta)=6+4\operatorname{sen}\theta$。最小值为 $6-4=2$ m，最大值为 $6+4=10$ m。数字 4 是围绕 6 振荡的振幅。在 $f(t)=\operatorname{sen}(2t)$ 中，$t$ 以弧度表示，周期为 $\pi$：只是 $2t$ 增加 $2\pi$。
在日常生活中
- 摩天轮。 圣保罗的 Roda Rico，高 91 米；沿途每个舱室的高度都是正弦曲线。
- **游乐场秋千。**秋千总是以相同的节奏来回移动，并且其位置作为周期函数重复。
- 当天的温度。 温度以 24 小时为周期上升和下降，在没有冷锋的一天中，看起来像波浪。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
1。 给出 $270°$ 的正弦和余弦。
参见分辨率 1
该点是$(0,-1)$：$\operatorname{sen}270°=-1$和$\cos270°=0$。
**2。**有$\tan90°$吗？解释。
参见分辨率 2
否。表达式为 $1/0$，未定义。
3。 如果正弦和余弦值为 $\sqrt2/2$，则计算正切、余切、正割和余割。
参见分辨率 3
商为 1；其倒数为 $2/\sqrt2=\sqrt2$。
4。 $\cos(3t)$ 的基本周期是多少？
参见分辨率 4
$2\pi/3$，因为 $3(t+2\pi/3)=3t+2\pi$。
**5.**对于中心为6米、半径为4米的轮子，$270°$处的高度是多少？
参见分辨率 5
$h=6+4(-1)=2$ m.
6。 $0°$ 和 $360°$ 之间（包括两端）之间的什么角度不存在余割？
参见分辨率 6
$0°$、$180°$ 和 $360°$，因为在这些角度中，正弦为零。