Euler's Eyes
2026-10-20
直角三角形：无需触及即可测量
在互动书中： 完成第九章，包含所有演示和练习.
树的高度
您距离一棵树 6 米，位于水平地面上，并且您看到树顶的仰角为 $45°$。不用爬就能知道高度。我们需要建立一个三角形并准确说出我们从哪里观察到它。
直角三角形的角为 $90°$。与之相对的一边是斜边；其他的是导管。对于选定的锐角，一侧相对，另一侧相邻。
毕达哥拉斯的面积演示
剪出四个相等的直角三角形，其边为 $a,b$，斜边为 $c$。将它们排列在边 $a+b$ 的正方形内，角处的直角和斜边形成边 $c$ 的中心正方形。
中心正方形具有直角，因为每个三角形的两个锐角之和为 $90°$。大面积是四个三角形面积与中心面积之和：
$$\begin{aligned} (a+b)^2&=4\frac{ab}{2}+c^2,\\ a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2,\\ a^2+b^2&=c^2. \end{aligned}$$该演示解释了任何直角三角形的相等性，而不仅仅是整数测量的绘图。
为什么比率仅取决于角度？
具有相同锐角的两个直角三角形的三个角都相等。它们相似：它们的对应边比例相同。如果我们将所有边都乘以相同的数字，则商不会改变。我们定义：
$$\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$$$\tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$
当将斜边缩小到1并将角度置于平面原点时，两条腿就是循环点的坐标。因此，前几章的定义和三角形的定义是一致的。
创建三个相似三角形的高度
称斜边为 $c$。从直角绘制的高度$h$将$c$分为部分$p$和$q$。设 $a$ 为在斜边上投影为 $p$ 的边，$b$ 为与 $q$ 关联的边。
三角形的相似度给出 $a/c=p/a$ 和 $b/c=q/b$。横向相乘：
$$a^2=cp,\qquad b^2=cq.$$比较区域，$ab/2=ch/2$，然后是$h=ab/c$。标识：
$$h^2=\frac{a^2b^2}{c^2}=\frac{cp\,cq}{c^2}=pq.$$我们还有$p+q=c$。这些是直角三角形的度量关系。
工作示例：树和它的眼睛
如果眼睛距离地面 1,4 米，则垂直腿从眼睛高度到顶部。称此差异为$d$：
$$\tan45°=\frac d6\quad\Rightarrow\quad d=6\text{ m}.$$这棵树的尺寸为 $6+1{,}4=7{,}4$ 米。测量取决于以下假设：平坦的地形、垂直的树木和 6 米的水平距离。粗略估计角度可得出近似高度。
如何选择工具
如果您知道两个方面并想要第三个方面，请使用毕达哥拉斯。如果您知道锐角和边，请选择涉及已知边和所需边的比率。另一个锐角是$90°-\alpha$。在结果中写入单位并检查斜边是否大于每条边。
在日常生活中
- **树木和建筑物的高度。**使用量角器或手机应用程序，测量到顶部的角度和到底部的距离；切线给出高度。
- 飞机着陆。 飞机的最终下降高度约为 $3^\circ$ 地面；切线告诉您在距轨道的每个距离处应该有多高。
- 有效。 砌砖工用三角形 3-4-5 检查墙的正方形。
练习
在打开解决方案之前，请尝试在笔记本中解决该问题。输入练习1和2； 3和4，用于练习； 5和6，用于加深。
1。 直角三角形的边长为 9 和 12 厘米。什么是斜边？
参见分辨率 1
$c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ 厘米。
2。 一个 10 米的梯子使 $60°$ 成为地面。它到达墙壁的高度是多少？
参见分辨率 2
$h=10\operatorname{sen}60°=5\sqrt3$ 米，大约 8,66 米。
3。 当太阳高度为 $30°$ 时，路灯投射 4 米的阴影。它有多高？
参见分辨率 3
$h/4=\tan30°=\sqrt3/3$，然后 $h=4\sqrt3/3$ 米，大约 2,31 米。
4。 斜边为 10 厘米，边为 6 厘米。计算另一边和相对于斜边的高度。
参见分辨率 4
另一边是 $\sqrt{100-36}=8$ 厘米。高度为 $h=6\cdot8/10=4{,}8$ 厘米。
5。 高度将斜边分为 4 和 9 厘米。计算斜边、高度和边。
参见分辨率 5
$c=13$ 厘米； $h=\sqrt{4\cdot9}=6$ 厘米。腿尺寸为 $\sqrt{13\cdot4}=2\sqrt{13}$ 厘米和 $\sqrt{13\cdot9}=3\sqrt{13}$ 厘米。
6。 眼睛距地面 1,5 米的观察者会看到水平方向 $45°$、8 米处的杆子顶部。帖子有多高？
参见分辨率 6
水平差为 $8\tan45°=8$ 米。加上眼睛的高度，柱子为 9,5 米。