Euler's Eyes
2026-10-20
直角三角形: 手を伸ばさずに測定する
インタラクティブ ブック内: すべてのデモンストレーションと演習を含む第 IX 章を完了.
木の高さ
あなたは木から 6 m の水平な地面にいて、仰角 $45°$ の木のてっぺんが見えます。登らなくても高さを知ることは可能です。三角形を設定し、それをどこから観察したかを正確に言う必要があります。
直角三角形の角度は$90°$です。その反対側が斜辺です。他はカテーテルです。選択した鋭角に関して、一方の側は反対側、もう一方の側は隣接します。
領域を使用したピタゴラスのデモンストレーション
脚$a,b$と斜辺$c$を持つ等しい直角三角形を4つ切り抜きます。これらを辺 $a+b$ の正方形内に配置し、角と斜辺の直角が辺 $c$ の中央の正方形を形成します。
各三角形の 2 つの鋭角の合計が $90°$ になるため、中央の正方形は直角になります。広い面積は、4 つの三角形の面積と中央の面積の合計です。
$$\begin{aligned} (a+b)^2&=4\frac{ab}{2}+c^2,\\ a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2,\\ a^2+b^2&=c^2. \end{aligned}$$このデモでは、整数の測定値の描画だけでなく、任意の直角三角形の等価性について説明します。
なぜ比率は角度だけに依存するのでしょうか?
同じ鋭角を持つ 2 つの直角三角形は、3 つの角がすべて等しいです。それらは類似しており、対応する辺が同じ比率になっています。すべての辺に同じ数を掛けても、商は変わりません。以下を定義します。
$$\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$$$\tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$
斜辺を 1 に縮小し、角度を平面の原点に配置すると、2 本の足がサイクル点の座標になります。したがって、前の章の定義と三角形の定義は一致します。
相似な三角形が 3 つできる高さ
斜辺を $c$ とします。直角から描いた高さ$h$は、$c$を$p$と$q$の部分に分割します。 $a$ を斜辺への投影が $p$ を測定する側とし、$b$ を $q$ に関連付けられた側とします。
三角形の相似により、$a/c=p/a$ と $b/c=q/b$ が得られます。横方向に乗算する:
$$a^2=cp,\qquad b^2=cq.$$$ab/2=ch/2$、$h=ab/c$の順に領域を比較します。ロゴ：
$$h^2=\frac{a^2b^2}{c^2}=\frac{cp\,cq}{c^2}=pq.$$私たちも持っています $p+q=c$。これらは直角三角形の計量関係です。
加工例: 木とその目
目が床から 1,4 m の場合、垂直の脚は目の高さから頂上まで伸びます。この違いを $d$ と呼びます。
$$\tan45°=\frac d6\quad\Rightarrow\quad d=6\text{ m}.$$木のサイズは$6+1{,}4=7{,}4$メートルです。測定は、平坦な地形、垂直の木、水平距離 6 m という仮定に基づいて行われます。角度を大まかに見積もると、おおよその高さがわかります。
ツールの選び方
2 つの側面を知っていて 3 番目の側面が必要な場合は、ピタゴラスを使用します。鋭角と辺がわかっている場合は、既知の求められている辺を含む比率を選択します。もう一方の鋭角は$90°-\alpha$です。結果に単位を書き込み、斜辺が各辺より大きいかどうかを確認します。
日常生活での応用
- 木や建物の高さ 分度器や携帯電話のアプリを使用して、頂上までの角度と底辺までの距離を測定します。接線は高さを与えます。
- 飛行機の着陸。 飛行機が最終的に降下すると、地面は約 $3^\circ$ になります。接線は、トラックからの各距離における接線の高さを示します。
- 動作します。 レンガ職人は壁の正方形を三角形 3-4-5 でチェックします。
練習問題
ソリューションを開く前に、ノートブックで問題を解いてみてください。演習 1 と 2 が入力されています。 3 と 4、練習用。 5と6、深めに。
1. 直角三角形の脚は 9 と 12 cm です。斜辺とは何ですか?
解像度 1 を参照
$c=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$cm。
2. 10 m のはしごが $60°$ を地面にします。壁に届く高さはどれくらいですか？
解像度 2 を参照
$h=10\operatorname{sen}60°=5\sqrt3$ m、約 8,66 m。
3. 太陽の高度が $30°$ のとき、街灯は 4 m の影を落とします。身長はどれくらいですか？
解像度 3 を参照
$h/4=\tan30°=\sqrt3/3$、次に $h=4\sqrt3/3$ m、約 2,31 m。
4. 斜辺は 10 cm、脚は 6 cm です。斜辺に対する反対側と高さを計算します。
解像度 4 を参照
反対側は$\sqrt{100-36}=8$cmです。高さは$h=6\cdot8/10=4{,}8$cmです。
5. 高さは斜辺を 4 cm と 9 cm に分割します。斜辺、高さ、脚を計算します。
解像度 5 を参照
$c=13$ cm; $h=\sqrt{4\cdot9}=6$cm。脚の長さは$\sqrt{13\cdot4}=2\sqrt{13}$cmと$\sqrt{13\cdot9}=3\sqrt{13}$cmです。
6. 地上から 1,5 m の目を持つ観察者は、水平方向に $45°$、8 m 離れたところにあるポールの頂上を見ます。ポストの高さはどれくらいですか？
解像度 6 を参照
段差は$8\tan45°=8$mです。目の高さを加えると柱は9,5mとなります。