已证明的基本关系

毕达哥拉斯在圆中

点 $P=(\cos x,\sin x)$ 距原点 1 个单位。轴上的投影形成一个边为 $|\cos x|$ 和 $|\sin x|$ 的直角三角形。应用毕达哥拉斯，我们得到：

$$\sin^2x+\cos^2x=1.$$

在轴上，直接验证相等性：一个坐标为零，另一个坐标具有模数 1。因此，该恒等式适用于每个真实的 $x$。

定义和先前的身份提供：

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x},$$

$$\sec x=\frac1{\cos x},\quad\csc x=\frac1{\sin x}.$$

将基本恒等式除以 $\cos^2x$ 需要 $\cos x\ne0$ 并给出：

$$1+\tan^2x=\sec^2x.$$

除以 $\sin^2x$ 和 $\sin x\ne0$，得出：

$$1+\cot^2x=\csc^2x.$$

当正弦和余弦不为零时，$\tan x\cot x=1$仍然有效。这些结果并不免除分母的条件。

假设$\sin x=5/13$和$x$位于第二象限。然后：

$$\cos^2x=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}.$$

该象限中的余弦为负，因此为 $\cos x=-12/13$。由此可见：

$$\tan x=-\frac5{12},\quad\cot x=-\frac{12}{5},\quad \sec x=-\frac{13}{12},\quad\csc x=\frac{13}{5}.$$

平方根提供两种符号可能性；象限是允许您选择的数据。

$\sin^2x$ 表示$(\sin x)^2$。 $\sin(x^2)$ 将正弦应用于输入的平方，是一个不同的函数。同样，方格之间的恒等式不允许在不考虑符号的情况下直接使值相等。

斜面。 坡道上重量的分量 $P\operatorname{sen}\alpha$ 和 $P\cos\alpha$ 通过基本关系重新组合重量。
电能。 有功功率、无功功率和视在功率形成直角三角形：$S^2 = P^2 + Q^2$、$P = S\cos\varphi$ 和 $Q = S\operatorname{sen}\varphi$。
**检索数据。**如果传感器仅测量角度的余弦，则基本关系将返回正弦 - 只是缺少来自象限的信号。

相同角度的正弦和余弦重新构成屏幕的对角线。

1。如果 $\tan x=3/4$，则计算 $\sec^2x$。

检查分辨率 1

$\sec^2x=1+9/16=25/16$。正方形已确定；割线的符号取决于象限。

**2。**如果$\cos x=-3/5$和$x$在第三象限，则计算正弦值。

检查分辨率 2

$\sin^2x=1-9/25=16/25$。在第三象限中，$\sin x=-4/5$。

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。