函数之间的相等性

三角恒等式是对声明域的所有条目都有效的等式。有必要检查值和表达式存在的点。

例如，$\sec^2x-\tan^2x=1$在$\cos x\ne0$时有效。右侧也存在于排除点中，但这不会将表达式的域扩展到左侧。

第一种方式：改造成员之一

为了演示 $\sin x\tan x+\cos x=\sec x$，使用 $\cos x\ne0$，我们从左侧开始：

$$\begin{aligned} \sin x\tan x+\cos x &=\frac{\sin^2x}{\cos x}+\frac{\cos^2x}{\cos x}\\ &=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos x}=\frac1{\cos x}. \end{aligned}$$

我们通过割线的定义来识别右手成员。

方式二：将两者转化为通用表达式

考虑：

$$\frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\sin x.$$

在域 $\sin x\ne0$ 中，左侧成员缩减为 $\sin^2x/\sin x=\sin x$。我们还可以将两边都转换为第三个表达式，只要每个转换都尊重域。

第三种方式：可逆等价

如果每个步骤都是可逆的，我们就可以研究所提出的等式。对于 $\sin x\ne0$：

$$\begin{aligned} \frac{1-\cos^2x}{\sin x}=\sin x &\iff1-\cos^2x=\sin^2x\\ &\iff1=\sin^2x+\cos^2x. \end{aligned}$$

最后的等式已知，所有步骤都可以撤消。相反，平方并不总是可逆的：$u=v$ 意味着 $u^2=v^2$，但返回可以给出 $u=-v$。

数值示例并非演示

测试 $x=0$ 和 $x=\pi/2$ 可能有助于发现错误，但它并不能证明有关所有实数的陈述。一个反例足以反驳；证明需要一般性论证。

在日常生活中

  • **地图。**用于计算地球表面距离的半正矢公式取决于身份$\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$。
  • Rms 电压。 鉴定显示 127 Rms 等于出口处约 180 V 的峰值。
  • **检查公式。**工程师通过测试它是否在简单情况下简化为已知恒等式来检查长公式。
插座处的标识 $\operatorname{sen}^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$：180 V 的峰值和 127 V 的均方根电压。

有决心的练习

1。 演示 $(1-\sin x)(1+\sin x)=\cos^2x$。

检查分辨率 1

通过平方差，左边成员是$1-\sin^2x=\cos^2x$。没有分母；适用于每一个实数。

2。 通过乘以共轭表达式来简化 $(1-\sin x)/\cos x$。说明新表格的条件。

检查分辨率 2

$\cos x/(1+\sin x)$ 形式是乘以 $(1+\sin x)/(1+\sin x)$ 得到的。在原始域$\cos x\ne0$中，也存在$\sin x\ne-1$，因此所使用的因子存在。这两种形式在这个领域是相等的。

在互动书中

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。

阶段索引 · ←上一堂课 · 下一堂课→