三商，三个域

倒数函数扩展了循环族：

$$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x},\qquad \sec x=\frac1{\cos x},\qquad\csc x=\frac1{\sin x}.$$
功能 排除积分 图像 基本时期
$\cot x$ $x=k\pi$ $\mathbb R$ $\pi$
$\sec x$ $x=\pi/2+k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$
$\csc x$ $x=k\pi$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $2\pi$

在整个表中，$k\in\mathbb Z$。余切值在其整个域中并非由 $1/\tan x$ 定义：在 $x=\pi/2$ 中，余切值为 0，而正切不存在。恒等式 $\cot x=1/\tan x$ 要求两个表达式都存在。

通过定义进行演示

与 $|\cos x|\le1$ 类似，它在割线域 $|1/\cos x|\ge1$ 中不为零。这就证明了割线像的限制。同样的论点也适用于余割。因为正弦和余弦经过$[-1,1]$，所以都达到了允许的值。

使用正弦和余弦奇偶校验：

$$\cot(-x)=-\cot x,\quad\sec(-x)=\sec x,\quad\csc(-x)=-\csc x.$$

余切和余割都是奇数；割线是偶数。半圈保留余切值的商，但改变两个倒数的符号。因此，其基本周期就是表中所示的周期。

如何绘制图表

每个分支中余切从无界正值减小到无界负值$(k\pi,(k+1)\pi)$；重置为 $\pi/2+k\pi$。

对于正割，使用余弦图：当其值为 1 或 $-1$ 时，倒数具有相同的值。当余弦接近零时，正割值增大。其分支超出范围 $-1

余割函数以相同的方式从正弦构造。它的垂直渐近线是正弦的零点；割线的零点是余弦的零点。

完整的计算

在$x=\pi/6$、$\sin x=1/2$和$\cos x=\sqrt3/2$中。然后：

$$\cot x=\sqrt3,\quad\sec x=\frac{2\sqrt3}{3},\quad\csc x=2.$$

在日常生活中

  • 屋顶。 坡度为 $\alpha$、半宽为 $d$ 的屋顶椽子尺寸为 $d\sec\alpha$。
  • 斜坡。 以坡度 $\alpha$ 向上 $h$ 的斜坡长度为 $h\operatorname{cossec}\alpha$。
  • 阴影。 当太阳位于 $\alpha$ 高度时，一根高度为 $h$ 的棍子会投射阴影 $h\operatorname{cotg}\alpha$。
坡道长度：高度乘以坡度的余割值。

有决心的练习

**1。**计算$\cot(\pi/2)$、$\sec\pi$和$\csc(3\pi/2)$。

检查分辨率 1

值分别为$0$、$-1$和$-1$。

2。 方程 $\sec x=1/2$ 有实数解吗？

检查分辨率 2

否：在割线域中，其模数至少为 1。

在互动书中

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。

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